Яке число ділиться на 2 3. Основні ознаки подільності. Розділ II. Ознаки подільності натуральних чисел

Математика в 6 класі починається з вивчення поняття подільності та ознак подільності. Часто обмежуються ознаками подільності на такі числа:

• На 2 : остання цифра має бути 0, 2, 4, 6 або 8;
• На 3 : сума цифр числа має ділитися на 3;
• На 4 : число, утворене останніми двома цифрами, має ділитися на 4;
• На 5 : остання цифра має бути 0 або 5;
• На 6 : число повинно мати ознаки подільності на 2 і 3;
• Ознака ділимості на 7 часто пропускається;
• Рідко також розповідають і про ознаку подільності на 8 , хоча він аналогічний ознакам ділимості на 2 і 4. Щоб число ділилося на 8, необхідно достатньо, щоб трицифрове закінчення ділилося на 8.
• Ознака ділимості на 9 знають усі: сума цифр числа має ділитися на 9. Що, щоправда, не розвиває імунітет проти усіляких трюків із датами, які використовують нумерологи.
• Ознака ділимості на 10 , Напевно, найпростіший: число має закінчуватися нулем.
• Іноді шестикласникам розповідають і про ознаку подільності на 11 . Потрібно цифри числа, що стоять на парних місцях скласти, від результату відняти цифри, що стоять на непарних місцях. Якщо результат ділиться на 11, то й саме число ділиться на 11.

Повернемося тепер до ознаки ділимості на 7. Якщо про нього розповідають, той поєднують із ознакою ділимості на 13 і радять використовувати так.

Беремо число. Розбиваємо його на блоки по 3 цифри в кожному (найлівіший блок може містити одну або 2 цифри) і поперемінно складаємо/віднімаємо ці блоки.

Якщо результат ділиться на 7, 13 (або 11), то й саме число ділиться на 7, 13 (ілb 11).

Заснований цей спосіб, як і ряд математичних фокусів на тому, що 7х11х13 = 1001. Однак що робити з тризначними числами, для яких питання ділимості, буває, теж не вирішити без поділу.

Використовуючи універсальну ознаку ділимості, можна побудувати відносно прості алгоритми визначення, чи ділиться число на 7 та інші "незручні" числа.

Удосконалена ознака подільності на 7
Щоб перевірити, чи ділиться число на 7, треба від числа відкинути останню цифру і від результату цю цифру двічі відібрати. Якщо результат ділиться на 7, те саме число ділиться на 7.

Приклад 1:
Чи поділяється на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Отже, число 238 поділяється на 7.
Справді, 238 = 34х7

Цю дію можна проводити багаторазово.
Приклад 2:
Чи поділяється на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 ділиться на 7 (якби ми цього не помітили, то могли б зробити ще 1 крок: 6-3-3 = 0, а 0 точно ділиться на 7).

Отже, число 65835 ділиться на 7.

На основі універсальної ознаки подільності, можна вдосконалити ознаки подільності на 4 та на 8.

Удосконалена ознака подільності на 4
Якщо половина числа одиниць у сумі з числом десятків - парне число, число ділиться на 4.

Приклад 3
Чи поділяється число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число парне, отже, число 4 ділиться.

Приклад 4
Чи поділяється число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число непарне, отже, 134 на 4 не ділиться.

Удосконалена ознака подільності на 8
Якщо скласти подвоєне число сотень, число десятків і половину числа одиниць, і результат буде ділитися на 4, то число ділиться на 8.

Приклад 5
Чи поділяється число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число поділяється на 4, отже, 512 поділяється на 8.

Приклад 6
Чи ділиться число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число ділиться на 4, отже, 1984 ділиться на 8.

Ознака подільності на 12- це об'єднання ознак ділимосоті на 3 і на 4. Це ж працює і для будь-яких n, що є твором взаємнопростих p і q. Щоб число ділилося на n (яке дорівнює добутку pq,актих, що НОД(p,q)=1), одне має ділитися одночасно на p і q.

Проте будьте уважні! Щоб працювали складові ознаки подільності, множники числа повинні бути взаємнопростими. Не можна сказати, що число ділиться на 8, якщо воно ділиться на 2 і на 4.

Удосконалена ознака подільності на 13
Щоб перевірити, чи ділиться число на 13, треба від числа відкинути останню цифру і до результату її чотири рази додати. Якщо результат ділиться на 13, те саме число ділиться на 13.

Приклад 7
Чи ділиться на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не ділиться на 13, отже, число 65835 не ділиться на 13.

Приклад 8
Чи поділяється на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 ділиться на 13, отже, і число 715 поділяється на 13.

Ознаки подільності на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28та інші складові числа, що не є ступенями простих, аналогічні ознакам ділимості на 12. Ми перевіряємо ділимість на взаємно прості множники цих чисел.

• Для14: на 2 та на 7;
• Для 15: на 3 та на 5;
• Для 18: на 2 та на 9;
• Для 21: на 3 та на 7;
• Для 20: на 4 та на 5 (або, по-іншому, остання цифра має бути нулем, а передостання – парною);
• Для 24: на 3 та на 8;
• Для 26: на 2 та на 13;
• Для 28: на 4 та на 7.

Удосконалена ознака подільності на 16.
Замість того, щоб перевіряти, чи ділиться 4-циферне закінчення числа на 16, можна скласти цифру одиниць зі збільшеною в 10 разів цифрою десятків, з чотириточковою цифрою сотень і з
збільшеною у вісім разів цифрою тисяч, та перевірити, чи ділиться результат на 16.

Приклад 9
Чи поділяється число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не ділиться на 16, отже, і 1984 не ділиться на 16.

Приклад 10
Чи поділяється число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не ділиться на 16, отже, і 1526 ділиться на 16.

Удосконалена ознака подільності на 17.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 17, треба від числа відкинути останню цифру і від результату цю цифру п'ять разів відібрати. Якщо результат ділиться на 13, те саме число ділиться на 13.

Приклад 11
Чи поділяється число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 ділиться на 17, отже, і число 59772 ділиться на 17.

Приклад 12
Чи поділяється число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 ділиться на 17, отже, і число 4913 ділиться на 17.

Удосконалена ознака подільності на 19.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 19, треба подвоїти останню цифру додати до числа, що залишився після відкидання останньої цифри.

Приклад 13
Чи поділяється число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 ділиться на 19, отже, і число 9044 ділиться на 19.

Удосконалена ознака подільності на 23.
Щоб перевірити, чи ділиться число на 23, треба останню цифру, збільшену в 7 разів, додати до числа, що залишився після відкидання останньої цифри.

Приклад 14
Чи поділяється число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Взагалі-то вже можна помітити, що 253 - це 23,

Серію статей про ознаки подільності продовжує ознака подільності на 3. У цій статті спочатку дано формулювання ознаки ділимості на 3 і наведено приклади застосування цієї ознаки при з'ясуванні, які з даних цілих чисел діляться на 3, а які - ні. Далі наведено доказ ознаки подільності на 3 . Також розглянуто підходи до встановлення подільності на 3 чисел, заданих як значення певного виразу.

Навігація на сторінці.

Ознака ділимості на 3, приклади

Почнемо з формулювання ознаки подільності на 3: ціле число ділиться на 3 , якщо сума його цифр ділиться на 3 , якщо сума цифр даного числа не ділиться на 3 , то і саме число не ділиться на 3 .

З наведеного формулювання відомо, що ознакою ділимості на 3 не вдасться користуватися без уміння виконувати . Також для успішного застосування ознаки подільності на 3 потрібно знати, що з усіх на 3 діляться числа 3, 6 та 9, а числа 1, 2, 4, 5, 7 та 8 – не діляться на 3.

Тепер можна розглянути найпростіші приклади застосування ознаки подільності на 3. З'ясуємо, чи ділиться на 3 число −42 . Для цього обчислюємо суму цифр числа −42, вона дорівнює 4+2=6. Оскільки 6 ділиться на 3 , то з ознаки ділимості на 3 можна стверджувати, як і число −42 ділиться на 3 . І це ціле позитивне число 71 на 3 не ділиться, оскільки сума його цифр дорівнює 7+1=8 , а 8 не ділиться на 3 .

А чи ділиться на 3 число 0? Щоб відповісти на це питання, ознака ділимості на 3 не знадобиться, тут треба згадати відповідну властивість ділимості, яка стверджує, що нуль поділяється на будь-яке ціле число. Таким чином, 0 поділяється на 3 .

У деяких випадках щоб показати, що дане число має або не має здатність ділитися на 3, до ознаки ділимості на 3 доводиться звертатися кілька разів поспіль. Наведемо приклад.

приклад.

Покажіть, що число 907444812 ділиться на 3 .

Рішення.

Сума цифр числа 907 444 812 дорівнює 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Щоб з'ясувати, чи ділиться 39 на 3 , обчислимо суму цифр: 3+9=12 . А щоб дізнатися, чи ділиться 12 на 3, знаходимо суму цифр числа 12, маємо 1+2=3. Оскільки ми отримали число 3 , яке ділиться на 3 , то з ознаки ділимості на 3 число 12 ділиться на 3 . Отже, 39 ділиться на 3, оскільки сума його цифр дорівнює 12, а 12 ділиться на 3. Нарешті, 907333812 ділиться на 3 , так як сума його цифр дорівнює 39 , а 39 ділиться на 3 .

Для закріплення матеріалу розберемо рішення ще одного прикладу.

приклад.

Чи ділиться на 3 число −543 205?

Рішення.

Обчислимо суму цифр цього числа: 5+4+3+2+0+5=19 . У свою чергу, сума цифр числа 19 дорівнює 1+9=10 , а сума цифр числа 10 дорівнює 1+0=1 . Оскільки ми отримали число 1 , яке ділиться на 3 , з ознаки ділимості на 3 слід, що 10 не ділиться на 3 . Тому 19 не ділиться на 3 , оскільки сума цифр дорівнює 10 , а 10 не ділиться на 3 . Отже, вихідне число −543 205 не ділиться на 3, оскільки сума його цифр, що дорівнює 19, не ділиться на 3 .

Відповідь:

Ні.

Варто зауважити, що безпосередній поділ цього числа на 3 дозволяє зробити висновок про те, чи ділиться це число на 3 націло, чи ні. Цим ми хочемо сказати, що не треба нехтувати поділом на користь ознаки поділення на 3 . В останньому прикладі, 543 205 на 3 , ми переконалися б, що 543 205 не ділиться націло на 3 , звідки можна було б сказати, що −543 205 не ділиться на 3 .

Доказ ознаки подільності на 3

Довести ознаку ділимості на 3 нам допоможе наступне уявлення числа a. Будь-яке натуральне число a ми можемо , після чого дозволяє отримати уявлення виду , де a n , a n−1 , …, a 0 – цифри, що стоять зліва направо запису числа a . Для наочності наведемо приклад такої думки: 528=500+20+8=5·100+2·10+8 .

Тепер запишемо ряд досить очевидних рівностей: 10 = 9 +1 = 3 · 3 +1, 100 = 99 +1 = 33 · 3 +1, 1000 = 999 +1 = 333 · 3 +1 і так далі.

Підставивши в рівність a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0замість 10, 100, 1000 і так далі вирази 3 · 3 +1, 33 · 3 +1, 999 +1 = 333 · 3 +1 і так далі, отримаємо
.

І дозволяють отриману рівність переписати так:

Вираз є сума цифр числа a. Позначимо її для стислості та зручності літерою А, тобто, приймемо . Тоді отримаємо уявлення числа a виду , яким і скористаємося за доказом ознаки подільності на 3 .

Також для доказу ознаки подільності на 3 нам знадобляться такі властивості подільності:

• щоб ціле число a ділилося на ціле число b необхідно і достатньо, щоб ділився на модуль числа b;
• якщо рівності a=s+t всі члени, крім якогось одного, діляться на деяке ціле число b , те цей один член ділиться на b .

Тепер ми повністю підготовлені та можемо провести доказ ознаки подільності на 3, для зручності цю ознаку сформулюємо як необхідного і достатньої умови ділимості на 3 .

Теорема.

Для ділимості цілого числа a на 3 необхідно достатньо, щоб сума його цифр ділилася на 3 .

Доведення.

Для a=0 теорема очевидна.

Якщо a відмінність від нуля, то модуль числа a є натуральним числом, тоді можливе уявлення, де - сума цифр числа a.

Оскільки сума і добуток цілих чисел є ціле число, то - ціле число, тоді за визначенням ділимості твір ділиться на 3 за будь-яких a 0 , a 1 , …, a n .

Якщо сума цифр числа a ділиться на 3 , тобто А ділиться на 3 , то в силу властивості ділимості, вказаної перед теоремою, ділиться на 3 , отже, a ділиться на 3 . Так доведено достатність.

Якщо a ділиться на 3 , те й ділиться на 3 , тоді з тієї ж властивості ділимості число ділиться на 3 , тобто, сума цифр числа a ділиться на 3 . Так доведено необхідність.

Інші випадки подільності на 3

Іноді цілі числа задаються над явному вигляді, бо як значення деякого при цьому значенні змінної. Наприклад, значення виразу при деякому натуральному є натуральним числом. Зрозуміло, що при такому завданні чисел для встановлення їх ділимості на 3 не допоможе безпосередній поділ на 3 та й ознака ділимості на 3 вдасться застосувати далеко не завжди. Зараз ми розглянемо кілька підходів до вирішення таких завдань.

Суть цих підходів полягає у поданні вихідного виразу у вигляді твору кількох множників, і якщо хоча б один із множників буде ділитися на 3, то в силу відповідної властивості ділимості можна буде зробити висновок про ділимість на 3 всього твору.

Іноді реалізувати такий підхід дозволяє. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Чи ділиться значення виразу на 3 за будь-якого натурального n ?

Рішення.

Очевидна рівність. Скористаємося формулою бінома Ньютона:

В останньому вираженні ми можемо винести 3 дужки, при цьому отримаємо . Отриманий твір ділиться на 3, оскільки містить множник 3, а значення виразу в дужках при натуральних n являє собою натуральне число. Отже, ділиться на 3 за будь-якого натурального n .

Відповідь:

Так.

У багатьох випадках довести подільність на 3 дозволяє. Розберемо його застосування під час вирішення прикладу.

приклад.

Доведіть, що з будь-якому натуральному n значення виразу ділиться на 3 .

Рішення.

Для підтвердження застосуємо спосіб математичної індукції.

При n=1 значення виразу дорівнює , а 6 поділяється на 3 .

Припустимо, що значення виразу ділиться на 3 при n=k , тобто ділиться на 3 .

Враховуючи, що ділиться на 3, покажемо, що значення виразу при n=k+1 ділиться на 3, тобто, покажемо, що ділиться на 3

Проведемо деякі перетворення:

Вираз поділяється на 3 та вираз ділиться на 3 , тому їхня сума ділиться на 3 .

Так методом математичної індукції доведено подільність на 3 за будь-якого натурального n .

Покажемо ще один підхід до доказу подільності на 3 . Якщо показати, що з n=3·m , n=3·m+1 і n=3·m+2 , де m – довільне ціле число, значення деякого висловлювання (зі змінною n ) ділиться на 3 , це доводитиме ділимість висловлювання на 3 за будь-якого цілому n . Розглянемо цей підхід під час вирішення попереднього прикладу.

Таким чином, за будь-якого натурального n ділиться на 3 .

Відповідь:

Так.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
• Михелович Ш.Х. Теорія чисел.
• Куликов Л.Я. та ін. Збірник задач з алгебри та теорії чисел: Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів

Ця стаття розкриває сенс ознаки подільності на 6 . Буде запроваджено його формулювання з прикладами рішень. Нижче наведемо доказ ознаки подільності на 6 з прикладу деяких выражений.

Ознака ділимості на 6, приклади

Формулювання ознаки ділимості на 6 включає в себе ознаку ділимості на 2 і на 3: якщо число закінчується на цифри 0, 2, 4, 6, 8, а сума цифр ділиться без залишку на 3, значить, таке число ділиться на 6; за відсутності хоча б однієї умови задане число на 6 не поділиться. Інакше кажучи, число буде ділитися на 6, коли воно поділиться на 2 і 3.

Застосування ознаки подільності на 6 працює у 2 етапи:

• перевірка ділимості на 2, тобто число має закінчуватися на 2 для явної ділимості на 2, за відсутності цифр 0, 2, 4, 6, 8 наприкінці числа поділ на 6 неможливий;
• перевірка ділимості на 3, причому перевірка проводиться за допомогою розподілу суми цифр числа на 3 без залишку, що означає можливість ділимості всього числа на 3; з попереднього пункту видно, що це число ділиться на 6 , оскільки виконуються умови розподілу на 3 і 2 .

Приклад 1

Перевірити, чи може число 8813 ділитися на 6 ?

Рішення

Вочевидь, що з відповіді слід звернути увагу до останню цифру числа. Так як 3 не ділиться на 2, звідси випливає, що одна умова не виконується. Виходить, що задане число на 6 не поділиться.

Відповідь:ні.

Приклад 2

Дізнатися, чи можливе розподіл числа 934 на 6 без залишку.

Рішення

Відповідь:ні.

Приклад 3

Перевірити подільність на 6 числа – 7 269 708 .

Рішення

Переходимо до останньої цифри числа. Оскільки її значення дорівнює 8 , то перша умова можна здійснити, тобто 8 ділиться на 2 . Переходимо до перевірки на здійсненність другої умови. Для цього складаємо цифри заданого числа 7+2+6+9+7+0+8=39. Видно, що 39 ділиться на 3 без залишку. Тобто отримуємо (39: 3 = 13). Очевидно, що обидві умови виконуються, означає, що задане число розділиться на 6 без залишку.

Відповідь:так, ділиться.

Щоб перевірити ділимість на 6 можна виконати безпосередньо розподіл на число 6 без перевірки ознак ділимості на нього.

Доказ ознаки подільності на 6

Розглянемо доказ ознаки подільності на 6 із необхідними та достатніми умовами.

Теорема 1

Для того, щоб ціле число a ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб це число ділилося на 2 і на 3 .

Доказ 1

Спочатку необхідно довести, що ділимість числа a на 6 обумовлює його ділимість на 2 і 3 . Використання властивості ділимості: якщо ціле число ділиться на b, тоді добуток m·a з m, що є цілим числом, також поділяється на b.

Звідси випливає, що з розподілі a на 6 можна використовувати властивість ділимості у тому, щоб уявити рівність як a = 6 · q , де q є певним цілим числом. Така запис твори свідчить, що наявність множника дає гарантію розподілу на 2 і 3 . Необхідність доведена.

Для повного доказу ділимості на 6 слід довести достатність. Для цього потрібно довести, що якщо число ділиться на 2 і на 3, воно ділиться і на 6 без залишку.

Необхідне застосування основної теореми арифметики. Якщо добуток кількох цілих позитивних і не рівних одиницям множників ділиться на просте число p тоді хоча б один множник ділиться на p .

Маємо, що ціле число a поділиться на 2 тоді існує таке число q , коли a = 2 · q . Це вираз ділиться на 3 , де 2 · q ділиться на 3 . Очевидно, що 2 на 3 не поділяється. З теореми слід, що q має ділитися на 3 . Звідси отримаємо, що є ціле число q 1 де q = 3 · q 1 . Отже, отримана нерівність виду a = 2 · q = 2 · 3 · q 1 = 6 · q 1 говорить про те, що число a ділиться на 6 . Достатність доведено.

Інші випадки подільності на 6

У цьому пункті розглядаються методи доказів подільності на 6 зі змінними. Такі нагоди передбачають інший метод рішення. Маємо твердження: якщо один із цілих множників у творі поділяється на задане число, то і весь твір поділиться на це число. Інакше висловлюючись, при представленому заданому вираженні як твори хоча б один із множників ділиться на 6 , все вираз буде ділитися на 6 .

Такі висловлювання простіше вирішувати за допомогою підстановки формули бінома Ньютона.

Приклад 4

Визначити, чи вираз 7 n - 12 n + 11 ділитися на 6 .

Рішення

Представимо число 7 як суми 6 + 1 . Звідси отримуємо запис виду 7 n – 12 n + 11 = (6 + 1) n – 12 n + 11 . Застосуємо формулу бінома Ньютона. Після перетворень маємо, що

7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 = = (C n 0 · 6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + + C n n - 2 · 6 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 6 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) - 12 n + 11 = = (6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + C n n - 2 · 6 2 + n · 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 · 6 n - 1 +. . . + C n n - 2 · 6 2 - 6 n + 12 = = 6 · (6 n - 1 + C n 1 · 6 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 6 1 - n + 2)

Отриманий твір ділиться на 6 , тому що один із множників дорівнює 6 . Звідси випливає, що може бути будь-яким цілим натуральним числом, причому заданий вираз поділиться на 6 .

Відповідь:так.

Коли вираз задається з допомогою многочлена, слід зробити перетворення. Бачимо, що потрібно вдатися до розкладання багаточлену на множники. отримаємо, що змінна n набуде вигляду і запишеться як n = 6 · m, n = 6 · m + 1, n = 6 · m + 2, …, n = 6 · m + 5, число m є цілим. Якщо ділимість при кожному n матиме сенс, ділимість заданого числа на 6 при будь-якому значенні цілого n буде доведена.

Приклад 5

Довести, що з будь-якому значенні цілого n вираз n 3 + 5 n поділиться на 6 .

Рішення

Для початку розкладемо на множники заданий вираз і отримаємо, що n 3 + 5 n = n · (n 2 + 5). Якщо n = 6 · m, тоді n · (n 2 + 5) = 6 m · (36 m 2 + 5) . Вочевидь, що наявність множника числа 6 свідчить, що вираз ділиться на 6 будь-якого цілого значення m .

Якщо n = 6 · m + 1, отримуємо

n · (n 2 + 5) = (6 m + 1) · 6 m + 1 2 + 5 = = (6 m + 1) · (36 m 2 + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) · 6 · (6 m 2 + 2 m + 1)

Твір буде ділитися на 6, тому що має множник, що дорівнює 6.

Якщо n = 6 · m + 2, то

n · (n 2 + 5) = (6 m + 2) · 6 m + 2 2 + 5 = = 2 · (3 m + 1) · (36 m 2 + 24 m + 4 + 5) = = 2 · (3 m + 1) · 3 · (12 m 2 + 8 m + 3) = = 6 · (3 m + 1) · (12 m 2 + 8 m + 3)

Вираз буде ділитися на 6 , оскільки запис має множник 6 .

Таким же чином виконується і для n = 6 · m + 3, n = 6 · m + 4 і n = 6 · m + 5. При підстановці дійдемо тому, що з будь-якому цілому значенні m ці висловлювання діляться на 6 . Звідси випливає, що заданий вираз поділиться на 6 за будь-якого значення n .

Тепер розглянемо з прикладу рішення з допомогою методу математичної індукції. Буде зроблено рішення за умовами першого прикладу.

Приклад 6

Довести, що вираз виду 7 n - 12 n + 11 буде ділитися на 6 де прийме будь-які цілі значення виразу.

Рішення

Даний приклад вирішимо методом математичної індукції. Алгоритм виконаємо суворо покроково.

Проведемо перевірку подільності виразу на 6 при n = 1 . Тоді отримуємо вираз виду 7 1 - 12 · 1 + 11 = 6. Очевидно, що 6 поділиться саме на себе.

Візьмемо n = k у вихідному вираженні. Коли воно буде ділитися на 6 тоді можна вважати, що 7 k - 12 k + 11 буде ділитися на 6 .

Перейдемо до доказу розподілу на 6 вирази виду 7 n - 12 n + 11 при n = k + 1 . Звідси отримаємо, що необхідно довести поділення виразу 7 k + 1 - 12 · (k + 1) + 11 на 6, причому слід враховувати те, що 7 k - 12 k + 11 ділиться на 6. Перетворимо вираз і навчимо, що

7 k + 1 - 12 · (k + 1) + 11 = 7 · 7 k - 12 k - 1 = = 7 · (7 k - 12 k + 11) + 72 k - 78 = = 7 · (7 k - 12 k + 11) + 6 · (12 k - 13)

Очевидно, що перший доданок буде ділитися на 6, тому що 7 k - 12 k + 11 ділиться на 6 . Другий доданок також ділиться на 6 , тому що один із множників дорівнює 6 . Звідси робимо висновок, що всі умови дотримані, а значить, що вся сума ділиться на 6 .

Метод математичної індукції доводить, що заданий вираз виду 7 n - 12 n + 11 буде ділитися на 6 коли n прийме значення будь-якого натурального числа.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Еткарьова Аліна

Дослідницький навчальний проект для 6 класу

Завантажити:

Попередній перегляд:

Районна наукова конференція учнів

Секція "Математика"

«Ознаки подільності натуральних чисел»

Еткарьова Аліна,

Учениця 6 класу

ДБОУ ЗОШ ж.-д.ст. Навантажувальна

Науковий керівник:

Степанова Галина Олексіївна

учитель математики

ДБОУ ЗОШ ж.-д.ст. Навантажувальна

С. Кішки

Вступ………………………………………………………………………...3

1. Глава 1. Трохи історії …………………………………………….4 -5

2. Розділ 2. Ознаки подільності

2.1.Ознаки ділимості натуральних чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, що вивчаються в школі……………………………………………………………….5- 6

2.2. Ознаки ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, отримані самостійно……………………………………………………..6-7

2.3. Ознаки ділимості на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описані у різних джерелах.............................. .................................................. ..............................8-11

3.Глава 3. Застосування ознак подільності натуральних чисел під час вирішення задач..................................... .................................................. ............11-14

Висновок. …………………………………………………………..15

Список використаної литературы………………………………………16

Вступ

Актуальність: Під час вивчення теми: «Ознаки ділимості натуральних чисел на 2, 3, 5, 9, 10» мене зацікавило питання ділимості чисел. Відомо, що не одне натуральне число ділиться на інше натуральне число без залишку. При розподілі натуральних чисел, ми отримуємо залишок, припускаємося помилок, в результаті - втрачаємо час. Ознаки ділимості допомагають, не виконуючи поділу, встановити, чи ділиться одне натуральне число інше. Я вирішила написати дослідницьку роботу з цієї теми.

Гіпотеза: Якщо можна визначити ділимість натуральних чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то повинні бути ознаки, за якими можна визначити ділимість натуральних чисел та інші числа.

Об'єкт дослідження:Подільність натуральних чисел.

Предмет дослідження:Ознаки подільності натуральних чисел.

Ціль: Доповнити вже відомі ознаки ділимості натуральних чисел націло, які я вивчив.

Завдання:

1. Вивчити історіографію питання.
2. Повторити ознаки подільності на 2, 3. 5, 9, 10, які я вивчив у школі.
3. Дослідити самостійно ознаки подільності натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
4. Вивчити додаткову літературу, що підтверджує правильність гіпотези про існування інших ознак ділимості натуральних чисел та правильність виявлених ознак ділимості.
5. Виписати знайдені з додаткової літератури ознаки подільності натуральних чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
6. Зробити висновок.
7. Скласти слайдову презентацію на тему: Ознаки ділимості.
8. Скласти брошуру «Ознаки подільності натуральних чисел».

Новизна:

У ході виконання проекту я поповнила знання про ознаки ділимості натуральних чисел.

Методи дослідження:Збір матеріалу, обробка даних, спостереження, порівняння, аналіз, узагальнення.

Розділ 1. Небагато з історії.

Ознака ділимості – це правило, яким, не виконуючи розподілу можна визначити, чи ділиться одне натуральне число інше. Ознаки ділимості завжди цікавили вчених різних країн та часів.

Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10 були відомі з давніх-давен. Ознак ділимості на 2 знали древні єгиптяни за 2 тисячі років до нашої ери, а ознаки ділимості на 2, 3, 5 були викладені італійським математиком Леонардо Фібоначчі (1170-1228г.г.).

При вивченні теми: «Прості та складові числа» мене зацікавило питання про складання таблиці простих чисел, тому що прості числа відіграють важливу роль у вивченні решти всіх чисел. Виявляється, над цим же питанням свого часу замислився олександрійський вчений Ератосфен, який жив у 3 столітті до нашої ери. Його метод складання списку простих чисел назвали "решета Ератосфена". Нехай треба знайти усі прості числа до 100. Напишемо поспіль усі числа до 100.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Залишивши число 2, закреслимо всі інші парні числа. Першим уцілілим числом після 2 буде 3. Тепер, залишивши число 3, закреслимо числа, що діляться на 3. Потім закреслимо числа, що діляться на 5. В результаті всі складові числа виявляться викресленими і залишаться тільки прості числа: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. За цим методом можна складати списки простих чисел , Великих 100.

Питання ділимості чисел розглядалися піфагорійцями. Теоретично чисел ними було проведено велику роботу з типології натуральних чисел. Піфагорійці ділили їх у класи. Виділялися класи: досконалих чисел (число дорівнює сумі своїх власних дільників, наприклад: 6=1+2+3), дружніх чисел (кожне з яких дорівнює сумі дільників іншого, наприклад 220 та 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110;220=1+2+4+71+142), фігурних чисел (трикутне число, квадратне число), простих чисел та ін.

Блез Паскаль Піфагор. Леонардо Пізанський Ератосфен

(Фібоначчі)

Великий внесок у вивчення ознак ділимості чисел зробив Блез Паскаль (1623-1662р.р.). Юний Блез дуже рано виявив видатні математичні здібності, навчившись рахувати раніше, ніж читати. Взагалі, його приклад – це класичний випадок дитячої математичної геніальності. Свій перший математичний трактат «Досвід теорії конічних перерізів» він написав у 24 роки. Приблизно в цей же час він сконструював механічну підсумовувальну машинку, прообраз арифмометра. У ранній період своєї творчості (1640-1650г.г.) різнобічний вчений знайшов алгоритм для знаходження ознак ділимості будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число, з якого випливають усі приватні ознаки. Його ознака полягає в наступному: Натуральне числоа розділиться на інше натуральне число b лише у тому випадку, якщо сума творів цифр числа a на відповідні залишки, одержувані при розподілі розрядних одиниць на число b, ділиться цього число.

Т.ч., ознаки подільності були відомі з давніх-давен і цікавили математиків.

Глава 2. Ознаки подільності

2.1.Ознаки ділимості натуральних чисел, що вивчаються у шкільництві.

При вивченні цієї теми необхідно знати поняття дільник, кратне, просте та складове числа.

Дільником натуральної кількостіа називають натуральне число b, на яке а ділиться без залишку.

Часто твердження про подільність числаа на число b виражають іншими рівнозначними словами:а кратно b, b - дільник а, b ділить а.

Простими називаються натуральні числа, які мають два дільники: 1 і саме число. Наприклад, числа 5,7,19 прості, т.к. діляться на 1 і саму себе.

Числа, які мають понад два дільники, називаються складовими. Наприклад, число 14 має 4 дільники: 1, 2, 7, 14, означає воно складове.

Т.ч.....

2.2.Ознаки ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, отримані самостійно.

Виконуючи дії розподілу, множення натуральних чисел, спостерігаючи за результатами дій, я знайшла закономірності та отримала такі ознаки подільності.

Ознака ділимості на 4.

25 · 4 = 100; 56 · 4 = 224; 123 · 4 = 492; 125 · 4 = 500; 2345 · 4 = 93 80; 2500 · 4 = 100 00;

Помножуючи натуральні числа на 4, я помітила, що числа, утворені з двох останніх цифр числа, поділяються на 4 без залишку.

Ознака ділимості на 4 читається так:Натуральне год

Ознака ділимості на 6.

Зауважимо, що 6 = 2 · 3 Ознака подільності на 6: Якщо натуральне число одночасно ділиться на 2 та на 3, то воно ділиться на 6.

Приклади:

216 ділиться на 2 (закінчується 6) і ділиться на 3 (8+1+6=15, 15?3), значить, число ділиться на 6.

Ознака ділимості на 8.

Помножуючи натуральне число на 8, я помітила таку закономірність, числа закінчуються на три 0 або три останні цифри становлять число, яке ділиться на 8.

Отже ознака така.Натуральне год

Ознака ділимості на 15.

Зауважимо, що 15 = 3 · 5

Приклади:

Ознака ділимості на 25.

Виконуючи множення різних натуральних чисел на 25, я побачила таку закономірність: твори закінчуються на 00, 25, 50, 75.

Значить, натуральне число ділиться на 25 якщо закінчується на 00, 25, 50, 75.

Ознака ділимості на 50.

На 50 діляться числа: 50, 1

Значить, натуральне число ділиться на 50 і тоді, коли закінчується двома нулями або 50.

Якщо наприкінці натурального числа стоять стільки ж нулів, скільки в розрядній одиниці, то це число ділиться на цю розрядну одиницю.

Приклади:

25 600 ділиться на 100, т.к. числа закінчуються на однакову кількість нулів. 8975000 ділиться на 1000 т.к. обидва числа закінчуються на 000.

Т.ч., виконуючи дії з числами та помічаючи закономірності, я сформулювала ознаки ділимості та з додаткової літератури знайшла підтвердження правильності сформульованих мною ознак ділимості натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 100.

2.3.Ознаки ділимості натуральних чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описані у різних джерелах.

З додаткової літератури знайшла кілька ознак ділимості натуральних чисел на 7.

П Різниці ділимості на 7:

Приклади:

479345 не ділиться на 7 т.к. 479-345 = 134, 134 не ділиться на 7.

Приклади:

4592 ділиться на 7 т.к. 45 · 2 = 90, 90 +92 = 182, 182 ділиться на 7.

57384 ділиться на 7, т.к. 573 · 2 = 1146, 1146 +84 = 1230,1230 не ділиться на 7

аbа

Приклади:

bаа

Приклади:

ааb

Приклади:

bаа

Приклади:

Приклади:

Приклади:

10׃7=1 (зуп 3)

100׃7=14 (зуп 2)

1000׃7 = 142 (ост 6)

10000׃7 = 1428 (зуп 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

6 +3 · 2 +1 · 3 +6 = 21, 21/7 (6-ост. від розподілу 1000 на 7; 2-ост. від розподілу 100 на 7; 3- зост. від розподілу 10 на 7).

Число 354722 не ділиться на 7,т.к. 3 · 5 +5 · 4 +4 · 6 +7 · 2 +2 · 3 +2 = 81, 81 не ділиться на 7 (5-зуст. від розподілу 100 000 на 7; 4-зуп. від розподілу 10 000 на 7; 6-ост. від розподілу 1000 на 7; 2-ост. від поділу 100 на 7; 3-ост. від поділу 10 на 7).

Ознаки поділення на 11.

Приклад:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Приклади:

Ознака ділимості на 12.

Приклади:

Ознаки поділення на 13.

Приклади:

Приклади:

Ознака ділимості на 14.

Приклади:

Число 35882 ділиться на 2 і 7, отже, воно ділиться на 14.

Ознака ділимості на 19.

Приклади:

153 4

182 4 182 +4 · 2 = 190, 190/19, отже, число 1824/19.

Ознаки подільності на 37.

Приклад:

В.о., в се перелічені ознаки ділимості натуральних чисел можна розділити на 4 групи:

1група- коли ділимість чисел визначається за останньою (їм) цифрою (ми) - це ознаки ділимості на 2, на 5, на розрядну одиницю, на 4, на 8, на 25, на 50;

2 група – коли ділимість чисел визначається за сумою цифр числа – це ознаки ділимості на 3, 9, на 7 (1 ознака), на 11, на 37;

3 група – коли ділимість чисел визначається після виконання якихось дій над цифрами числа – це ознаки подільності на 7, 11, 13, 19;

4 група – коли визначення ділимості числа застосовуються інші ознаки делимости –це ознаки ділимості на 6, на12, на 14, на 15.

Глава 3. Застосування ознак подільності натуральних чисел під час вирішення завдань.

Ознаки подільності застосовуються при знаходженні НОД та НОК, а також при вирішенні текстових завдань на застосуванні НОД та НОК.

Завдання 1:

Учні 5 класу купили 203 підручники. Кожен купив однакову кількість книг. Скільки було п'ятикласників і скільки підручників купив кожен із них?

Рішення: Обидві величини, які потрібно визначити, мають бути цілими числами, тобто. перебувати серед дільників числа 203. Розклавши 203 на множники, отримуємо: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

З практичних міркувань.

Відповідь:

Завдання 2 .

Рішення:

Відповідь:

Завдання 3: У 9 класі за контрольну роботу 1/7 учнів отримали п'ятірки, 1/3 – четвірки, 1/2 – трійки. Інші роботи виявилися незадовільними. Скільки було таких робіт?

Рішення:

Математичні відносини завдання припускають, що кількість учнів у класі 84, 126 тощо. людина. Але з міркувань здорового глузду випливає, що найбільш прийнятною відповіддю є число 42.

Відповідь: 1 робота.

Завдання 4.

Рішення : У першому з цих класів могло бути: 17, 34, 51… – числа, кратні 17. У другому класі: 9, 18, 27, 36, 45, 54… – числа, кратні 9. Нам потрібно вибрати 1 число з першої послідовності , а 2 число з другого так, щоб вони в сумі давали 70. Причому в цих послідовностях лише невелика кількість членів можуть виражати можливу кількість дітей у класі. Це міркування значно обмежує перебір варіантів. Можливим єдиним варіантом виявилася пара (34, 36).

Відповідь:

Завдання 5.

Рішення:

Відповідь:

Завдання 6. Два автобуси відправляються від однієї площі різними маршрутами. В одного з автобусів рейс туди і назад триває 48 хв, а в іншого 1 год 12 хв. Через скільки часу автобуси знову зустрінуться на цій самій площі?

Рішення:

Відповідь:

Завдання 7 . Дана таблиця:

Відповідь:

Завдання 8.

Відповідь:

Завдання 9.

Відповідь:

Отже, ми переконалися у застосуванні ознак подільності натуральних чисел під час вирішення завдань.

Висновок.

У процесі роботи я познайомилася з історією розвитку ознак подільності. Сама правильно сформулювала ознаки подільності натуральних чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, чому знайшла підтвердження з додаткової літератури. Працюючи з різними джерелами, я переконалася в тому, що існують інші ознаки поділення натуральних чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), щопідтвердило правильність гіпотезипро існування інших ознак подільності натуральних чисел.

З додаткової літератури знайшла завдання, під час вирішення яких застосовуються ознаки подільності натуральних чисел.

Знання та використання вище перерахованих ознак подільності натуральних чисел значно спрощує багато обчислень, економить час; виключає обчислювальні помилки, які можна зробити під час виконання дії розподілу. Слід зазначити, що формулювання деяких ознак складне. Можливо, тому вони не вивчаються у школі.

Зібраний мною матеріал я оформила як брошури, яку можна використовувати на заняттях математикою, на заняттях математичного гуртка. Вчителі математики можуть використовувати його щодо цієї теми. Також рекомендую ознайомитися зі своєю роботою тим одноліткам, які хочуть знати про математику більше, ніж рядовий школяр.

Надалі можна розглянути такі питання:

Виведення ознак подільності;

З'ясувати, чи існують ще ознаки подільності, для дослідження яких у мене бракує поки що знань?

Список використаної літератури (джерел):

1. Галкін В.А. Завдання на тему «Ознаки ділимості».// Математика, 1999. - №5.-С.9.
2. Гусєв В.А., Орлов А.І., Розенталь О.Л. Позакласна робота з математики в 6-8 класах. - М.: Просвітництво, 1984.
3. Каплун Л.М. НОД та НОК у завданнях. // Математика, 1999. - №7. - С. 4-6.
4. Пельман Я.І. Математика – це цікаво! - М.: ТЕРРА - Книжковий клуб, 2006.
5. Енциклопедичний словник молодого математика./ Упоряд. Савін А.П. - М.: Педагогіка, 1989. - С. 352.
6. Internet

Ознаки подільності

На 5.

Якщо число закінчується 0, 5.

На 2.

Якщо число закінчується на 0, 2, 4, 6, 8

на 10.

Якщо число закінчується на 0

на 3 (9).

Якщо кількість цифр числа ділиться на 3 (9).

Попередній перегляд:

Відповідь:

Завдання 8.

Напишіть яке-небудь дев'ятизначне число, в якому немає цифр, що повторюються (всі цифри різні) і яке ділиться без залишку на 11. Напишіть найбільше з таких чисел, найменше з них.

Відповідь: Найбільша – 987652413, найменша – 102347586.

Завдання 9.

Іван задумав просте тризначне число, всі цифри якого різні. На яку цифру воно може закінчуватися, якщо його остання цифра дорівнює сумі перших двох. Наведіть приклади таких чисел.

Відповідь: Може закінчуватися лише цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.

Ознака ділимості на 2

Якщо натуральне число закінчується на 2, 4, 6, 8, 0, воно ділиться на 2 без залишку.

Ознака ділимості на 5.

Якщо число закінчується на 0 або 5, воно ділиться на 5 без залишку.

Ознака подільності на 3

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то число ділиться на 3.

Приклади

684: 3, т. К. 6 + 8 + 4 = 18, 18: 3, значить і число: на 3.

763 немає: на3, т.к. 7 +6 +3 = 16, 16 немає: на 3, значить 763 немає: на 3.

Ознака подільності на 9

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то саме число ділиться на 9.

Приклади

765: 9, тому що 7+6+5=18, 18: 9, значить 765: 9

881 не: на 9, т.к. 8+8+1=17, 17 немає: на 9, значить 881 немає: на 9.

Ознака ділимості на 4.

25 · 4 = 100; 56 · 4 = 224; 123 · 4 = 492; 125 · 4 = 500; 2345 · 4 = 93 80; 2500 · 4 = 100 00; …

Натуральне год ісло ділиться на 4 тоді і лише тоді, коли дві його останні цифри 0 або утворюють число, що ділиться на 4.

Ознака ділимості на 6.

Зауважимо, що 6 = 2 · 3 Ознака подільності на 6:

Якщо натуральне число одночасно ділиться на 2 і 3, воно ділиться на 6.

Приклади:

816 ділиться на 2 (закінчується 6) і ділиться на 3 (8+1+6=15, 15?3), значить, число ділиться на 6.

625 не ділиться на 2, ні на 3, отже, не ділиться на 6.

2120 ділиться на 2 (закінчується 0), але не ділиться на 3 (2+1+2+0=5, 5 не ділиться на 3), отже число не ділиться на 6.

279 ділиться на 3 (2+7+9=18, 18:3), але не ділиться на 2 (закінчується непарною цифрою), значить число не ділиться на 6.

Ознака ділимості на 7.

Ι. Натуральне число ділиться на 7 тоді і лише тоді, коли різницю числа тисяч і числа, що виражається останніми трьома цифрами, ділиться на 7.

Приклади:

478009 ділиться на 7 т.к. 478-9 = 469, 469 ділиться на 7.

475341 не ділиться на 7 т.к. 475-341 = 134, 134 не ділиться на 7.

ΙΙ. Натуральне число ділиться на 7, якщо сума подвоєного числа, що стоїть до десятків і решти числа ділиться на 7.

Приклади:

4592 ділиться на 7 т.к. 45 · 2 = 90, 90 +92 = 182, 182/7.

хв, а в іншого 1 год 12 хв. Через скільки часу автобуси знову зустрінуться на цій самій площі?

Рішення: НОК(48, 72) = 144 (хв). 144 хв = 2 год 24 хв.

Відповідь: Через 2 год 24 хв. автобуси знову зустрінуться на цій же площі.

Завдання 7 . Дана таблиця:

У порожні клітини впишіть такі числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Рішення : У першому з цих класів могло бути: 17, 34, 51… – числа, кратні 17. У другому класі: 9, 18, 27, 36, 45, 54… – числа, кратні 9. Нам потрібно вибрати 1 число з першої послідовності , а 2 число з другої так, щоб вони в сумі давали 70. Причому в цих послідовностях тільки невелика кількість членів можуть виражати можливу кількість дітей у класі. Це міркування значно обмежує перебір варіантів. Можливим єдиним варіантом виявилася пара (34, 36).

Відповідь: У першому класі – 34 учні, у другому класі – 36 учнів.

Завдання 5.

Яку найменшу кількість однакових подарунків можна зробити із 320 горіхів, 240 цукерок, 200 яблук? Скільки горіхів, цукерок та яблук буде у кожному подарунку?

Рішення: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарунків), тоді у кожному подарунку буде: 320:40 = 8 (горіхів); 240: 40 = 6 (цукерок); 200:40 = 5 (яблук).

Відповідь: У кожному подарунку по 8 горіхів, 6 цукерок, 5 яблук.

Завдання 6.

Два автобуси відправляються від однієї площі різними маршрутами. В одного з автобусів рейс туди і назад триває 48

57384 ділиться на 7, т.к. 573 · 2 = 1146, 1146 +84 = 1230, 1230 не ділиться на 7.

ΙΙΙ. Тризначне натуральне число видуаbа ділиться на 7, якщо а+b ділиться на 7.

Приклади:

252 ділиться на 7 т.к. 2 +5 = 7, 7/7.

636 ділиться на 7, т.к. 6 +3 = 9, 9 не ділиться на 7.

IV. Тризначне натуральне число виду bаа ділиться на 7, якщо сума цифр числа ділиться на 7.

Приклади:

455 ділиться на 7 т.к. 4 +5 +5 = 14, 14/7.

244 ділиться на 7, т.к. 2 +4 +4 = 12, 12 не ділиться на 7.

V. Тризначне натуральне число видуааb ділиться на 7, якщо 2а-b ділиться на 7.

Приклади:

882 ділиться на 7,т.к. 8 +8-2 = 14, 14/7.

996 ділиться на 7, т.к. 9 +9-6 = 12, 12 не ділиться на 7.

VI. Чотиризначне натуральне число виду bаа , де b-двозначне число буде ділитися на 7, якщо b +2а ділиться на 7.

Приклади:

2744 ділиться на 7 т.к. 27 +4 +4 = 35, 35/7.

1955 року не ділиться на 7, т.к. 19 +5 +5 = 29, 29 не ділиться на 7.

VII. Натуральне число ділиться на 7 тоді, і тільки тоді, коли результат віднімання подвійної останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7.

Приклади:

483 ділиться на 7 т.к. 48-3 · 2 = 42, 42/7.

564 ділиться на 7, т.к. 56-4 · 2 = 48, 48 не ділиться на 7.

VIII. Натуральне число ділиться на 7 і тоді, коли сума творів цифр числа на відповідні залишки одержувані при розподілі розрядних одиниць на число 7, ділиться на 7.

Приклади:

10׃7=1 (зуп 3)

100׃7=14 (зуп 2)

1000׃7 = 142 (ост 6)

10000׃7 = 1428 (зуп 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (зост 1) і знову повторюються залишки.

Число 1316 ділиться на 7 т.к. 1· 6 +3 · 2 +1 · 3 +6 = 21, 21/7 (6-залишок від поділу 1000 на 7; 2-залишок від поділу 100 на 7; 3- залишок від поділу 10 на 7).

Число 354722 не ділиться на 7,т.к. 3 · 5 +5 · 4 +4 · 6 +7 · 2 +2 · 3 +2 = 81, 81 не ділиться на 7 (5-залишок від розподілу 100 000 на 7; 4 - залишок від розподілу 10 000 на 7; 6-залишок від поділу 1000 на 7; 2-залишок від поділу 100 на 7; 3-залишок від поділу 10 на 7).

Кількість подарунків має бути дільником кожного з чисел, що виражають кількість апельсинів, цукерок та горіхів, причому найбільшим із цих чисел. Тому треба знайти НОД даних чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Кожен подарунок міститиме: 60: 15 = 4 – апельсина,175: 15 = 11 - горіхів і 225: 15 = 15 - цукерок.

Відповідь: В одному подарунку – 4 апельсини, 11 горіхів, 15 цукерок.

Завдання 3: У 9 класі за контрольну роботу 1/7 учнів отримали п'ятірки, 1/3 – четвірки, ½ – трійки. Інші роботи виявилися незадовільними. Скільки було таких робіт?

Рішення: Розв'язанням задачі має бути число, кратне числам: 7, 3, 2. Знайдемо спочатку найменше з таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можна скласти вираз за умовою задачі: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 неуспішний.

Математичні відношення ставлення задачі припускають, що кількість учнів у класі 84, 126 тощо. людина. Але з міркувань здорового глузду випливає, що найбільш прийнятною відповіддю є число 42.

Відповідь: 1 робота.

Завдання 4.

У двох класах разом 70 учнів. У одному класі 7/17 учнів не з'явилися на заняття, а іншому 2/9 отримали відмінні позначки з математики. Скільки учнів у кожному класі?

Приклади:

25 600 ділиться на 100, т.к. числа закінчуються на однакову кількість нулів.

8975000 ділиться на 1000 т.к. обидва числа закінчуються на 000.

Завдання 1: (Використання спільних дільників та НОД)

Учні 5 «А» класу купили 203 підручники. Кожен купив однакову кількість книг. Скільки було п'ятикласників і скільки підручників купив кожен із них?

Рішення: Обидві величини, які потрібно визначити, мають бути цілими числами, тобто. перебувати серед дільників числа 203. Розклавши 203 на множники, отримуємо:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

З практичних міркуваньслід, що підручників може бути 29. також число підручників неспроможна дорівнювати1, т.к. у цьому випадку учнів було б 203. Отже, п'ятикласників – 29 і кожен із них купив по 7 підручників.

Відповідь: 29 п'ятикласників; 7 підручників

Завдання 2 . Є 60 апельсинів, 165 горіхів та 225 цукерок. Яка найбільша кількість однакових подарунків для дітей можна зробити з цього запасу? Що увійде до кожного набору?

Рішення:

Ознака ділимості на 8.

125 · 8 = 1000; 242 · 8 = 1936; 512 · 8 = 4096; 600 · 8 = 4800; 1234 · 8 = 9872; 122875 · 8 = 983 000;

Натуральне год ісло ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли три останні цифри діляться 0 або становлять число, що ділиться на 8.

Ознаки поділення на 11.

I. Число ділиться на 11, якщо різниця суми цифр, що стоять на непарних місцях, і суми цифр, що стоять на парних місцях, кратна 11.

Різниця може бути негативним числом або 0, але обов'язково має бути кратною 11. Нумерація йде зліва направо.

Приклад:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, отже, це число ділиться на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, отже, це число ділиться на 11.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, отже, це число ділиться на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, отже, це число ділиться на 11.

ІІ. Натуральне число розбивають праворуч наліво на групи по 2 цифри в кожній і складають ці групи. Якщо отримувана сума кратна 11, то випробуване число кратно 11.

Приклад: Визначимо, чи число 12561714 ділиться на 11.

Розіб'ємо число на групи по дві цифри у кожній: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 ділиться на 11, отже, це число ділиться на 11.

ІІІ. Тризначне натуральне число ділиться на 11, якщо сума бічних цифр числа дорівнює цифрі, що у середині. Відповідь складатиметься з тих самих бічних цифр.

Приклади:

594 ділиться на11, т.к. 5+4=9, 9-в середині.

473 ділиться на 11 т.к. 4+3=7, 7- у середині.

861 ділиться на 11, т.к. 8+1=9, а середині 6.

Ознака ділимості на 12.

Натуральне число ділиться на 12 і тоді, коли воно ділиться на 3 і 4 одночасно.

Приклади:

636 ділиться на 3 і 4, отже, воно ділиться на 12.

587 не ділиться ні на 3, ні на 4, отже воно не ділиться на 12.

27126 ділиться на 3, але не ділиться на 4, отже воно не ділиться на 12.

Ознаки подільності на 37.

I. Натуральне число ділиться на 37, якщо сума чисел, утворених трійками цифр цього числа у десятковому записі поділяється відповідно на 37.

Приклад: Визначимо, чи число 100048 ділиться на 37.

100/048 100+48=148, 148 ділиться на 37, отже, число ділиться на 37.

ІІ. Тризначне натуральне число, написане однаковими цифрами, ділиться на 37.

Приклад:

Числа 111, 222, 333, 444, 555, … поділяються на 37.

Ознака подільності на 25

Натуральне число ділиться на 25 якщо воно закінчується на 00, 25, 50, 75.

Ознака ділимості на 50.

На 50 діляться числа: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Вони закінчуються або 50, або 00.

Натуральне число ділиться на 50 і тоді, коли закінчується двома нулями або 50.

Об'єднана ознака подільності на 10, 100, 1000, …

Якщо наприкінці натурального числа стоять стільки ж нулів, скільки в розрядній одиниці, то це число ділиться на цю розряд-

ну одиницю.

Ознаки поділення на 13.

I. Натуральне число ділиться на 13, якщо різниця числа тисяч та числа, утвореного останніми трьома цифрами, ділиться на 13.

Приклади:

Число 465 400 ділиться на 13, т.к. 465 - 400 = 65, 65 ділиться на 13.

Число 256184 не ділиться на 13 т.к. 256 - 184 = 72, 72 не ділиться на 13.

ІІ. Натуральне число ділиться на 13 і тоді, коли результат віднімання останньої цифри, помноженої на 9, із цього числа без останньої цифри, ділиться на 13.

Приклади:

988 ділиться на 13 т.к. 98 - 9 · 8 = 26, 26 ділиться на 13.

853 не ділиться на 13 т.к. 85 - 3 · 9 = 58, 58 не ділиться на 13.

Ознака ділимості на 14.

Натуральне число ділиться на 14 і тоді, коли воно ділиться на 2 і 7 одночасно.

Приклади:

Число 45826 ділиться на 2, але не ділиться на 7, отже, воно не ділиться на 14.

Число 1771 ділиться на 7, але не ділиться на 2, отже, воно не ділиться на 14.

Ознака ділимості на 15.

Зауважимо, що 15 = 3 · 5.Якщо натуральне число одночасно ділиться і 5 і 3, воно ділиться на 15.

Приклади:

346725 ділиться на 5 (закінчується 5) і ділиться на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), отже число ділиться на 15.

48732 ділиться на 3 (4 +8 +7 +3 +2 = 24, 24:3), але не ділиться на 5, значить, число не ділиться на 15.

87565 ділиться на 5 (закінчується 5), але не ділиться на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не ділиться на 3), отже число не ділиться на 15.

Ознака ділимості на 19.

Натуральне число ділиться на 19 без залишку і тоді, коли його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, ділиться на 19.

Слід врахувати, що число десятків у числі треба рахувати не цифру в розряді десятків, а загальну кількість цілих десятків у всьому числі.

Приклади:

153 4 десятків-153, 4 · 2 = 8, 153 +8 = 161, 161 не ділиться на 19, значить, і 1534 не ділиться на 19.

182 4 182 +4 · 2 = 190, 190:19, отже, число 1824: 19.

ДБОУ ЗОШ ж.-д. ст. Навантажувальна Ознаки подільності НАТУРАЛЬНИХ ЧИСІЛ Склала Еткарева Аліна. 2013 рік

Приступимо до розгляду теми «Ознака подільності на 4». Наведемо формулювання ознаки, проведемо його доказ, розглянемо основні приклади завдань. Наприкінці розділу ми зібрали відомості про підходи, які можна застосовувати у тих випадках, коли нам потрібно довести поділеність чисел на 4 , задані літерним виразом.

Ознака ділимості на 4 , приклади

Ми можемо піти простим шляхом і поділити однозначне натуральне число на 4 для того, щоб перевірити, чи це число ділиться на 4 без залишку. Також можна надійти з двозначними, тризначними та ін. числами. Проте, що більше стають числа, то складніше проводити із нею дії із єдиною метою перевірки подільності їх у 4 .

Набагато простіше стає використовувати ознаку подільності на 4 . Він передбачає проведення перевірки ділимості однієї чи двох останніх цифр цілого числа 4 . Що це означає? Це означає, що деяке число a ділиться на 4 у тому випадку, якщо одна або дві крайні праві цифри запису числа a діляться на 4 . Якщо число, що складається з двох крайніх правих цифр у записі числа a не діляться на 4 без залишку, то число a не ділиться на 4 без залишку.

Приклад 1

Які з чисел 98 028 , 7 612 та 999 888 777 діляться на 4?

Рішення

Крайні праві цифри чисел − 98028, 7612 складають числа 28 і 12, які діляться на 4 без залишку. Це означає, що цілі числа − 98 028 , 7 612 ? діляться на 4 без залишку.

Останні дві цифри у записі числа 999 888 777 утворюють число 77, яке не ділиться на 4 без залишку. Це означає, що вихідне число на 4 без залишку не ділиться.

Відповідь:− 98 028 та 7 612 .

Якщо передостанньою цифрою в записі числа є 0 , то нам необхідно цей нуль відкинути і дивитися на крайню праву цифру, що залишилася в записі. Виходить, що дві цифри 01 ми замінюємо 1 . І вже по одній цифрі, що залишилася, ми робимо висновок про те, чи ділиться вихідне число на 4 .

Приклад 2

Чи ділиться числа 75 003 і − 88 108 на 4?

Рішення

Дві останні цифри числа 75 003 - бачимо 03 . Якщо відкинути нуль, то в нас залишається цифра 3, яка на 4 без залишку не ділиться. Це означає, що вихідне число 75 003 на 4 без залишку не ділиться.

Тепер візьмемо дві останні цифри числа − 88 108 . Це 08 , з яких ми маємо залишити лише останню цифру 8 . 8 ділиться на 4 без залишку.

Це означає, що і вихідне число − 88 108 ми можемо поділити на 4 без залишку.

Відповідь: 75 003 не ділиться на 4 , а − 88 108 – ділиться.

Числа, у яких наприкінці запису йде відразу два нулі, також діляться на 4 без залишку. Наприклад, 100 ділиться на 4, виходить 25. Довести правдивість цього твердження дозволяє правило множення числа на 100 .

Представимо довільно обране багатозначне число a запис якого праворуч закінчується двома нулями, як твір a 1 · 100, де число a 1виходить з числа a якщо в його запису праворуч відкинути два нулі. Наприклад, 486700 = 4867 · 100.

твір a 1 · 100містить множник 100 , який поділяється на 4 . Це означає, що це наведене твір ділиться на 4 .

Доказ ознаки подільності на 4

Представимо будь-яке натуральне число aу вигляді рівності a = a 1 · 100 + a 0, в якому число a 1– це число a, із запису якого прибрали дві останні цифри, а число a 0– це дві крайні праві цифри із запису числа a. Якщо використовувати конкретні натуральні числа, то рівність матиме вигляд undefined. Для одно- та двозначних чисел a = a 0.

Визначення 1

Тепер звернемося до властивостей ділимості:

• розподіл модуля числа aна модуль числа b необхідно і достатньо для того, щоб ціле число aділилося на ціле число b;
• якщо в рівності a = s + t всі члени, крім одного діляться на деяке ціле число b, то і цей член, що залишився, ділиться на число b.

Тепер, освіживши у пам'яті необхідні властивості ділимості, переформулюємо доказ ознаки ділимості на 4 як необхідного і достатньої умови ділимості на 4 .

Теорема 1

Розподіл двох останніх цифр у записі числа a на 4 – це необхідна та достатня умова для ділення цілого числа a на 4 .

Доказ 1

Якщо припустити, що a = 0, Теорема доказі не потребує. Для решти цілих чисел a ми використовуватимемо модуль числа a , який є числом позитивним: a = a 1 · 100 + a 0

З урахуванням того, що твір a 1 · 100завжди ділиться на 4 , а також з урахуванням властивостей ділимості, які ми привели вище, ми можемо зробити таке твердження: якщо число a ділиться на 4 , то модуль числа a ділиться на 4 , тоді з рівності a = a 1 · 100 + a 0 слідує, що a 0ділиться на 4 . Так ми довели потребу.

З рівності a = a 1 · 100 + a 0 випливає, що модуль a поділяється на 4 . Це означає, як і саме число a ділиться на 4 . Так ми довели достатність.

Інші випадки подільності на 4

Розглянемо випадки, коли необхідно встановити поділеність на 4 цілого числа, заданого деяким виразом, значення якого треба обчислити. Для цього ми можемо піти наступним шляхом:

• уявити вихідне вираз у вигляді добутку кількох множників, один з яких буде ділитися на 4;
• зробити висновок на підставі якості ділимості у тому, що це вихідне вираз ділиться на
  4 .

Допомогти у вирішенні завдання часто допомагає формула бінома Ньютона.

Приклад 3

Чи ділиться на 4 значення виразу 9 n - 12 n + 7 при деякому натуральному n?

Рішення

Ми можемо уявити 9 як суми 8 + 1 . Це дає нам можливість застосувати формулу бінома Ньютона:

9 n - 12 n + 7 = 8 + 1 n - 12 n + 7 = = C n 0 · 8 n + C n 1 · 8 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 8 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 8 · 1 n - 1 + C n n · 1 n - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n - 1 · 1+. . . + C n n - 2 · 8 2 + n · 8 + 1 - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 · 8 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 8 2 - 4 n + 8 = = 4 · 2 · 8 n - 1 + 2 · C n 1 · 8 n - 2 +. . . + 2 · C n n - 2 · 8 1 - n + 2

Твір, яке ми отримали під час перетворень, містить множник 4 , а вираз у дужках є натуральним числом. Це означає, що цей твір можна поділити на 4 без залишку.

Ми можемо стверджувати, що вихідний вираз 9 n - 12 n + 7 ділиться на 4 за будь-якого натурального n .

Відповідь:Так.

Також ми можемо застосувати для вирішення завдання метод математичної індукції. Щоб не відволікати вашу увагу на другорядні деталі аналізу рішення, візьмемо колишній приклад.

Приклад 4

Доведіть, що 9 n - 12 n + 7 ділиться на 4 за будь-якого натурального n .

Рішення

Почнемо із встановлення того, що при значенні n = 1значення виразу 9 n - 12 n + 7
можна буде розділити на 4 без залишку.

Отримуємо: 9 1 – 12 · 1 + 7 = 4 . 4 ділиться на 4 без залишку.

Тепер ми можемо припустити, що за значення n = kзначення виразу
9 n - 12 n + 7 ділитиметься на 4 . Фактично, ми будемо працювати з виразом 9 k - 12 k + 7, яке має ділитися на 4 .

Нам необхідно довести, що 9 n - 12 n + 7 при n = k + 1буде ділитися на 4 з урахуванням того, що 9 k - 12 k + 7 ділиться на 4:

9 k + 1 - 12 (k + 1) + 7 = 9 · 9 k - 12 k - 5 = 9 · 9 k - 12 k + 7 + 96 k - 68 = = 9 · 9 k - 12 k + 7 + 4 · 24 k - 17

Ми отримали суму, в якій перший доданок 9 · 9 k - 12 k + 7 ділиться на 4 у зв'язку з нашим припущенням про те, що 9 k - 12 k + 7 ділиться на 4 , а другий доданок 4 · 24 k - 17 містить множник 4 , у зв'язку з чим ділиться на 4 . Це означає, що сума ділиться на 4 .

Відповідь:ми довели, що 9 n - 12 n + 7 ділиться на 4 за будь-якого натурального значення n методом математичної індукції.

Ми можемо використовувати ще один підхід для того, щоб довести поділення деякого виразу на 4 . Цей підхід передбачає:

• доказ факту того, що значення даного виразу зі змінною n ділиться на 4 при n = 4 · m, n = 4 · m + 1, n = 4 · m + 2 n = 4 · m + 3, де m- ціле число;
• висновок про доведеність подільності даного виразу на 4 будь-якого цілого числа n .

Приклад 5

Доведіть, що значення виразу n · n 2 + 1 · n + 3 · n 2 + 4 при будь-якому цілому nділиться на 4 .

Рішення

Якщо припустити, що n = 4 · m, отримуємо:

4 m · 4 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 m 2 + 4 = 4 m · 16 m 2 + 1 · 4 m + 3 · 4 · 4 m 2 + 1

Отриманий твір містить множник 4 , всі інші множники представлені цілими числами. Це дає підставу припускати, що це твір ділиться на 4 .

Якщо припустити, що n = 4 · m + 1, отримуємо:

4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 + 3 · 4 m + 1 2 + 4 = = (4 m · 1) + 4 m + 1 2 + 1 · 4 m + 1 · 4 m + 1 2 + 4

І знову у творі, який ми отримали під час перетворень,
міститься множник 4 .

Це означає, що ділиться на 4 .

Якщо припустити, що n = 4 · m + 2, то:

4 m + 2 · 4 m + 2 2 + 1 · 4 m + 2 + 3 · 4 m + 2 2 + 4 = = 2 · 2 m + 1 · 16 m 2 + 16 m + 5 · (4 m + 5 ) · 8 · (2 ​​m 2 + 2 m + 1)

Тут у творі ми отримали множник 8 , який можна залишити на 4 . Це означає, що це твір ділиться на 4 .

Якщо припустити, що n = 4 · m + 3 отримуємо:

4 m + 3 · 4 m + 3 2 + 1 · 4 m + 3 + 3 · 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 · 2 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 2 · 2 m + 3 · 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 · 4 m + 3 · 8 m 2 + 12 m + 5 · 16 m 2 + 24 m + 13

Твір містить множник 4, значить ділиться на 4 без залишку.

Відповідь:ми довели, що вихідний вираз ділиться на 4 за будь-якого n .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter