Stejně jako číslo je děleno 2 3. Hlavní znaky pravosti. Rozdil II. Známky pravosti přirozených čísel

13.04.2022

Matematika v 6. ročníku je založena na pochopení falešného a znaku falešného. Často jsou obklopeny známkami falešnosti na následujících číslech:

Na 2 : zbývající číslice může být 0, 2, 4, 6 nebo 8;
Na 3 : součet číslic čísla může být dělitelný 3;
Na 4 : číslo složené ze zbývajících dvou číslic může být dělitelné 4;
Na 5 : zbývající číslice může být 0 nebo 5;
Na 6 : počet zavinění matky znaky pravosti na 2 a 3;
Znamení zatemnění 7 často přeskakované;
Je vzácné říci totéž o známce falešnosti 8 , i když vin je podobný znaménkam šera o 2 a 4. Pokud je číslo zředěné 8, je třeba mít dostatek, pokud je trojmístná koncovka zředěna 8.
Znamení zatemnění 9 know u: součet číslic čísla může být dělitelný 9. No, upřímně, z datlí si nevytvoříte imunitu proti silným trikům, jako vyhrávají numerologové.
Znamení zatemnění 10 , Chantly, nejjednodušší: číslo může končit nulou.
Někteří žáci šesté třídy vyprávějí o známce falešnosti na 11 . Je potřeba spočítat číslice čísla, postavit se na spárovaná místa, aby se dali dohromady, podle výsledku zobrazení čísel, aby se postavili na nespárovaná místa. Pokud je výsledek dělitelný 11, pak je stejné číslo dělitelné 11.

Vraťme se nyní ke znamení šera o 7. Budeme-li mluvit o novém, půjdeme ze znamení šera do 13 a uděláme ho tak vítězným.

Bereme číslo. Rozdělte jógu na bloky po 3 číslicích v kůži (nejmenší blok může mít jednu nebo 2 číslice) a střídavě přidávejte / odebírejte bloky qi.

Pokud je výsledek dělitelný 7, 13 (nebo 11), pak je stejné číslo dělitelné 7, 13 (ilb 11).

Základy této metody, stejně jako řada matematických triků na tom, že 7х11х13 = 1001.

Vykoristovuyuchi univerzální znamení šera, můžete vyvolat znatelně jednoduché algoritmy denominace, chi rozšířit číslo o 7 a další "neošetřené" čísla.

Vylepšený odznak falešnosti o 7
Chcete-li obrátit, pokud je číslo děleno 7, musíte vybrat zbývající číslici z čísla a vybrat binární číslici z výsledku. Pokud je výsledek dělitelný 7, je stejné číslo dělitelné 7.

Příklad 1:
Chi poddělí na 7. čísle 238?
23-8-8 = 7. Také číslo 238 je děleno 7.
Pravda, 238 = 34x7

Qiu diyu lze provést bagatorazovo.
Příklad 2:
Chi podrozděluje na 7. čísle 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 je děleno 7 (pokud si mě nepamatovali, mohlo to být ještě 1 háčkování: 6-3-3 \u003d 0 a 0 by bylo určitě děleno 7).

Také číslo 65835 je dělitelné 7.

Na základě univerzálních znaků nepravdy je možné doplnit znaky nepravdy o 4 a o 8.

Vylepšený odznak pro 4
Například poloviční počet jedniček je součet počtu desítek - číslo chlapa, číslo je dělitelné 4.

zadek 3
Chi dělí číslo 52 4?
5 + 2/2 \u003d 6, číslo chlapa, stejné, číslo 4 je rozděleno.

zadek 4
Chi dělí číslo 134 4?
3 + 4/2 = 5, číslo je nepárové, také 134 nedělí 4.

Vylepšeno znamení falešnosti o 8
Pokud sečtete dvojnásobek počtu stovek, počet desítek a polovinu počtu jedniček a výsledek bude dělitelný 4, pak bude číslo dělitelné 8.

zadek 5
Chi dělí číslo 512 číslem 8?
5*2+1+2/2 = 12, číslo je děleno 4, opět 512 je děleno 8.

zadek 6
Jaké je číslo 1984 děleno 8?
9*2+8+4/2 = 28, číslo je dělitelné 4, stejně tak 1984 je dělitelné 8.

Identifikační znak pro 12- tse union sign dilimosity on 3 і on 4. Tse w pracyuє і pro be-yak n, což je dílo vzájemně jednoduchého p і q. Aby bylo číslo děleno n (protože je dražší doplňovat pq, je to tak, že GCD(p, q) = 1), lze jedno dělit zároveň p a q.

Buďte prosím ohleduplní! Sob pratsyuvali skladování známky nepravdy, multiplikátory počtu viny jsou vzájemně jednoduché. Nemůžete říct, jestli je číslo dělitelné 8, jestli je dělitelné 2 a 4.

Vylepšený odznak pro 13
Chcete-li znovu zvážit, je-li číslo děleno 13, musíte k výsledku її chotir krát přidat zbývající číslo i a přidat. Pokud je výsledek dělitelný 13, je stejné číslo dělitelné 13.

zadek 7
Čchi děleno 8. číslem 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Číslo 43 není dělitelné 13, stejně tak číslo 65835 není dělitelné 13.

zadek 8
Čchi je rozdělena na 13. z 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 je děleno 13 a číslo 715 je děleno 13.

Známky pravosti na 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 tato další čísla skladu, která nejsou jednoduchými kroky, jsou podobná znaménka dělitelnosti 12.

Pro 14: o 2 a o 7;
Pro 15: o 3 a o 5;
Pro 18: o 2 a o 9;
Pro 21: o 3 a o 7;
Pro 20: o 4 a 5 (jinak, jiným způsobem, zbývající číslo může být nula a zbytek - pár);
Pro 24: o 3 a o 8;
Pro 26: o 2 a o 13;
Pro 28: o 4 a o 7.

Vylepšený odznak pravosti o 16.
Místo toho, abyste otočili čtyřcifernou koncovku čísla o 16, můžete přidat číslo jedna s desetinásobným zvýšením počtu desítek, se čtyřciferným číslem stovky a z
zbіlshenoy y vіsіm timesіv číslice tisíce a revіrіt, chi dělící výsledek 16.

zadek 9
Mění se číslo 1984 na 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 není dělitelné 16 a 1984 také není dělitelné 16.

zadek 10
Chi dělí číslo 1526 číslem 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 není děleno 16 a 1526 je také děleno 16.

Vylepšený odznak pravosti o 17.
Chcete-li provést opravu, pokud je číslo děleno 17, musíte vybrat zbývající číslici z čísla a pětkrát vybrat zbývající číslici z výsledku. Pokud je výsledek dělitelný 13, je stejné číslo dělitelné 13.

zadek 11
Odečte se číslo 59772 na 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 je děleno 17 a číslo 59772 je také děleno 17.

zadek 12
Odečte číslo 4913 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 je děleno 17 a číslo 4913 je také děleno 17.

Vylepšený odznak pravosti na 19.
Aby bylo možné sladit, že číslo je děleno 19, je nutné sečíst zbývající číslo a přičíst ho k číslu, které chybí po dopočítání zbývajícího čísla.

zadek 13
Chi dělí číslo 9044 číslem 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 je děleno 19 a číslo 9044 je děleno 19.

Vylepšený odznak pravosti na 23.
Aby bylo možné obrátit, číslo se vydělí 23, je vyžadován zbývající údaj, zvýším jej 7krát, přidám k číslu, které chybí po uhodnutí zbývajícího čísla.

zadek 14
Odečítá se číslo 208012 o 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Už si pamatujete, že 253 - tse 23,

Série článků o známkách falešnosti pokračuje znak pravosti na 3. V tomto statutu je vzorec znaků dělitelnosti 3 uveden na zadní straně hlavy a použití znaků je zavedeno, když jsou znaky z'yasuvann, pokud jsou z daných celých čísel děleny 3 , a yak - n. Dalі vyvolal důkazní známky nepravdivosti dne 3. Bylo to také zkoumáno, když došlo k nastavení falešného na 3 čísla, nastavení jako významu písně.

Navigace na straně.

Znak dělitelnosti pro 3, zadek

Pochnemo s formulování znaků pravosti na 3: celé číslo je dělitelné 3, pokud je součet jeho cifer dělitelný 3, pokud součet cifer daného čísla není dělitelný 3, pak samotné číslo není dělitelné 3.

Z navozeného vzorce se zdá, že znaménko dělitelnosti 3 vám nedovolí kroutit se bez mysli k vítězství. Také pro úspěšnou stosuvannya musí známky falešnosti 3 vědět, že čísla 3, 6 a 9 jsou dělena 3 a čísla 1, 2, 4, 5, 7 a 8 by neměla být dělena 3.

Nyní se můžete podívat na to nejjednodušší dát známky falešnosti na 3. Je jasné, že čchi se dělí 3. číslem −42. Pro které se vypočítá součet cifer čísla −42, je celkový počet 4+2=6. Oskіlki 6 lze dělit 3, pak lze znaky dělitelnosti 3 přitvrdit, jako číslo −42 lze dělit 3. Za prvé, kladné číslo 71 nelze dělit 3, ale součet číslic je roven 7+1=8 a 8 nelze dělit 3.

A chi je děleno 3 číslem 0? Pokud nepotřebujete znaménko dělitelnosti 3, musíte uhodnout mocninu dělitelnosti, jako těleso, že nula je rozdělena na celé číslo. V tomto pořadí se 0 dělí na 3.

V některých ohledech musíte ukázat, že dané číslo může nebo nemusí být děleno 3; Uveďme příklad.

zadek.

Ukažte, že číslo 907444812 je dělitelné 3 .

Řešení.

Součet číslic čísla 907 444 812 je starý 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Schob z'yasuvati, chi se dělí 39 na 3, vypočítáme součet číslic: 3 + 9 = 12. A abychom to zjistili, chi se dělí 12 na 3, známe součet číslic čísla 12, možná 1 + 2 = 3. Oskіlki mi odebral číslo 3, pokud je dělitelné 3, pak znaky dělitelnosti 3 číslo 12 jsou dělitelné 3. Také 39 je děleno 3, součet číslic je 12 a 12 je děleno 3. Nareshti, 907333812 je děleno 3, takže součet číslic je 39 a 39 je děleno 3.

Pro fixaci materiálu zvolíme řešení ještě jednoho zadku.

zadek.

Q je děleno 3. číslem −543 205?

Řešení.

Vypočítejte součet číslic čísla: 5+4+3+2+0+5=19 . Mám vlastní řádek, součet číslic čísla 19 je 1+9=10 a součet číslic čísla 10 je 1+0=1. Oskіlki mi odečetl číslo 1, které je dělitelné 3, ale další znaky dělitelnosti 3, protože 10 není dělitelné 3. Svazek 19 není dělen 3, součet čísel je roven 10 a 10 není děleno 3. Také číslo −543 205 není dělitelné 3, ale součet číslic, který je spíše 19, není dělitelný 3.

Návrh:

Ni.

Varto respektuje, že nepřerušované dělení čísla 3 vám umožňuje dělat pramínky o těch, u kterých je stejné číslo dělitelné 3, chi. Tsim mi chci říct, že není nutné porušovat znaky dělení 3. Ve zbývajícím zadku 543 205 na 3 jsme se změnili, takže 543 205 nedělí 3, o hvězdách lze říci, že −543 205 nedělí 3.

Doklad o známkách pravosti za 3

Uveďte znaménko dělitelnosti na 3, abyste nám pomohli s příchodem čísla a. Jde-li o přirozené číslo a, můžeme, pokud nám to dovolí mít vzhled, de a n, a n−1, ..., a 0 jsou čísla, která stojí napravo k zápisu čísla a. Pro názornost si uveďme příklad takové myšlenky: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Nyní si zapišme řadu, abychom doplnili zřejmé rovnosti: 10 = 9 +1 = 3 3 +1, 100 = 99 +1 = 33 3 +1, 1000 = 999 +1 = 333 3 +1 a tak dále.

Nahrazování v žárlivosti a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 náhražka 10, 100, 1000 a tak dále tah 3 3 +1, 33 3 +1, 999 +1 = 333 3 +1 a tak dále, odebrat
.

Dovoluji otrimanovi přepsat takto:

Viraz є součet číslic čísla a. Výrazně її pro styl a srozumitelnost písmene A je tedy přijatelné. Poté odebereme vzhled čísla jako druh, like a urychlíme důkaz znaku pravosti o 3.

Také, abychom dokázali známky falešnosti pro 3, potřebujeme takovou sílu falešnosti:

aby číslo a bylo děleno číslem b je nutné a dostatečné, aby bylo děleno modulem čísla b;
i když a=s+t jsou všechny členy kromě jednoho děleny stejným číslem b, tyto členy jsou děleny b.

Nyní jsme připraveni se připravit a můžeme provést důkazní známky pravosti za 3, pro přehlednost znaménka formulujeme jako nezbytné a dostatečné pro snížení dělitelnosti 3.

Teorém.

Aby bylo celé číslo a dělitelné 3, stačí, aby součet jeho cifer byl dělitelný 3.

Přinášení.

Pro a=0 věta je zřejmá.

Yakscho a je definováno jako nula, pak modul čísla a je přirozené číslo, jinak jej lze zobrazit, de - součet číslic a.

Oskіlki součet і dobutok tsіlih čísla є tsіle číslo, pak - tsіle číslo, thіѕ dіlіmostі tvіr dіlіtsya o 3 pro zda a 0 , a 1 , …, a n .

Je-li součet číslic čísla a dělen 3, pak A je děleno 3, pak kvůli mocnině dělitelnosti, uvedené před větou, je děleno 3, pak a je děleno 3 . Tak se přináší dostatek.

Yakscho a je dělitelné 3 , te i je dělitelné 3 , pak je mocnina dělitelnosti dělitelná 3 , takže součet cifer čísla a je dělitelný 3 . Tak byla vnesena nutnost.

Іnshі vypadki podіlnostі 3

Někdy jsou čísla uvedena nad zřejmým, protože význam stejného s významem změny. Například význam virázy s desítkovým přirozeným číslem je přirozené číslo. Uvědomil jsem si, že s takovou množinou čísel pro nastavení jejich dělitelnosti 3 nelze do 3 přidat nepřerušované dělení a znaménko dělitelnosti na 3 se zdaleka nezasekne. Najednou se podíváme na několik kroků k dokončení takových zakázek.

Podstatou těchto přístupů je poskytnout širokou škálu pohledů na vytváření řady násobků, a i když by jeden z násobků byl dělitelný 3, pak díky síle dělitelnosti můžete vytvářet visnovoky o rozmanitost tvorby 3.

Je povoleno implementovat takový pidkhid. Pojďme se podívat na řešení.

zadek.

Rozšiřuje se hodnota o 3 pro jakékoli přirozené n?

Řešení.

Zjevná žárlivost. Urychleno Newtonovým binomickým vzorcem:

Ve zbytku oblouku můžeme vytknout 3 oblouky, se kterými je to odneseno. Odečtení twіr se dělí 3, střepy se rovnají násobiteli 3 a hodnota hrany v obloucích s přirozeným n je přirozené číslo. Opět dělitelné 3 pro jakékoli přirozené n.

Návrh:

Tak.

V bohaté vipadce můžete uvést dělení podle 3. Pojďme se podívat na jógu zastosuvannya pіd hodinu vіrіshennya zadek.

zadek.

Ukažte, že jakoukoli přirozenou hodnotu n lze vydělit 3.

Řešení.

Pro potvrzení je nutné použít metodu matematické indukce.

V Hodnota n=1 je považována za správnou a 6 je děleno 3.

Předpokládejme, že hodnota je dělitelná 3 pro n=k, pak je dělitelná 3.

Překvapivě to, co je dělitelné 3, je prokazatelné, že hodnota viraz v n=k+1 je dělitelná 3, pak prokazatelně co dělitelný 3

Provedeme transformaci:

Viraz se dělí na 3 ta virázy dělitelný 3, pak je součet dělitelný 3.

Metodou matematické indukce tedy bylo dělení přivedeno na 3 pro jakékoli přirozené n.

Ukažme ještě jeden pidkhid, než prokážeme nepravdu 3 . Jak ukázat, že s n=3 m, n=3 m+1 і n=3 m+2, kde m je více než číslo, se hodnota desetinné čárky (změny n) vydělí 3, čímž se získá dilema k bodu o 3 pro libovolné číslo n. Podívejme se na tuto pidkhіd pіd hodinu třešně předního zadku.

takovým způsobem, pro jakékoli přirozené n dělitelné 3 .

Návrh:

Tak.

Seznam literatury.

Vilenkin N.Ya. že v matematice. Stupeň 6: asistent pro zagalnosvitnіh zakladіh.
Vinogradov I.M. Základy teorie čísel.
Mikhelovič Sh.Kh. Teorie čísel.
Kulikov L.Ya. že v. Sbírka úloh z algebry a teorie čísel: Průvodce pro studenty fyziky a matematiky. odbornosti pedagogických ústavů

Tsya statya odhaluje smyslné známky autenticity na 6 . Bude zaprovadzheno Yogo formularyuvannya z zadky řešení. Níže prokážeme známky falešnosti na 6 pažbě deyaky výrazů.

Znak dělitelnosti pro 6, zadek

Vzorec pro znaménka dělitelnosti 6 obsahuje znaménko dělitelnosti 2 a 3: číslo tedy končí čísly 0, 2, 4, 6, 8 a součet čísel se bez přebytku vydělí 3, což znamená, že takové číslo je dělitelné 6; pro den, pokud chcete znát dané číslo do 6, nesdílejte ho. V opačném případě bude číslo zřejmě děleno 6, pokud je děleno 2 a 3.

Zastosuvannya známky pravosti pro 6 kroků ve 2 fázích:

opětovné ověření dělitelnosti 2, takže číslo může končit 2 pro explicitní dělitelnost 2, pro přítomnost čísel 0, 2, 4, 6, 8, například se číslo rozdělilo na 6 nemožnost ;
opětovné ověření dělitelnosti 3, navíc se opětovné ověření provádí po dodatečném dělení součtu číslic čísla 3 bez přebytku, což znamená možnost dělitelnosti celého čísla 3; Z předchozího bodu je zřejmé, že číslo se dělí 6, střepy se spočítají a vydělí 3 a 2.

zadek 1

Obráceně, jak může být číslo 8813 dělitelné 6?

Řešení

Je zřejmé, že byste měli respektovat svůj respekt až do poslední číslice čísla. Takže jako 3 se nedělí na 2, zvuk křičí, že jedna mysl nebije. Uvědomte si, že dané číslo nelze dělit 6.

Návrh: Ne.

zadek 2

Zjistěte, jak můžete číslo 934 rozdělit 6, aniž byste toho příliš mnoho.

Řešení

Návrh: Ne.

zadek 3

Ověřte si pravost 6. den - 7 269 708.

Řešení

Přejdeme na zbývající číslici čísla. Oskіlki її znachennya dorivnyuє 8, pak lze přidat první mysl, takže 8 je děleno 2. Pojďme k překontrolování mysli jiné mysli. Pro který sklad sečteme číslice daného čísla 7+2+6+9+7+0+8=39. Je vidět, že 39 je děleno 3 bez přebytku. Tobto je přijatelné (39:3 = 13). Je zřejmé, že se budou vyhrávat urážky, to znamená, že dané číslo bude bez přebytku děleno 6.

Návrh: ano, sdílet.

Chcete-li zvrátit dilema o 6, můžete vikonati bez prostředníka rozpodil na číslo 6 bez opětovného ověření, znamení dilematu na nové.

Doklad o známkách pravosti za 6

Podívejme se na důkaz známek falešnosti na 6 z nezbytných a dostatečných myslí.

Věta 1

Aby bylo číslo a dělitelné 6, je nutné a postačující, aby číslo bylo dělitelné 2 a 3.

Důkaz 1

Je třeba si připomenout, že dělitelnost čísla a 6 změní jeho dilimaci 2 a 3. Volba mocniny dělitelnosti: je-li celé číslo děleno b, pak sčítání m a od m, což je celé číslo, se také dělí b.

Je zřejmé, že dělením a 6 můžete získat mocninu dělitelnosti, abyste ukázali vyrovnanost jako a = 6 · q, de q є první velké číslo. Vytvořte takový záznam, aby přítomnost multiplikátoru dávala záruku, že bude rozdělen na 2 a 3. Nutnost přinesla.

Pro opětovné prokázání dělitelnosti 6 kroky přineste dostatek. Pro koho je nutné uvést, že číslo je dělitelné 2 a 3, je dělitelné 6 bez přebytku.

Nutné rozpracování hlavní věty aritmetiky. Je možné získat tolik kladných čísel, které se nerovnají 1, aby byly dělitelné prvočíslem p, pokud má být pouze jeden násobitel dělitelný p.

Je možné, že celé číslo a lze dělit asi 2 číslem q, je-li a = 2 · q . Ce viraz je děleno 3, de 2 · q je děleno 3. Je zřejmé, že 2 x 3 není rozděleno. Z věty vyplývá, že q může být dělitelné 3 . Je důležité, aby číslo q 1 de q \u003d 3 · q 1 bylo celé číslo. Opět nestejnoměrnost tvaru a = 2 q = 2 3 q 1 = 6 q 1 mluvit o těch, že číslo a je dělitelné 6. Dostatek přinesl.

Іnshі vypadki podіlnostі 6

V tomto okamžiku jsou metody a důkazy nepravdivosti zvažovány pro 6 změn. Je tedy čas převést jinou metodu řešení. Může být pevné: pokud je jeden z mnoha násobitelů ve stvoření vydělen daným číslem, pak se stejným číslem vydělí celý tvir. V opačném případě, v závislosti na daném výrazu, pokud chcete, aby jeden z násobitelů byl dělen 6, bude vše dělitelné 6.

Je jednodušší postupovat tímto způsobem pro dodatečné dosazení Newtonova binomického vzorce.

zadek 4

Je příznačné, že chi viraz 7 n - 12 n + 11 je dělitelné 6.

Řešení

Představme si číslo 7 yak sumi 6 + 1 . Musíme napsat tvar 7 n - 12 n + 11 \u003d (6 + 1) n - 12 n + 11. Pojďme vyřešit Newtonův binomický vzorec. Mohu předělat, šo

7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 = = (C n 0 6 n + C n 1 6 n - 1 + . . . + + C n - 2 6 2 1 n - 2 + Cn n - 1 6 1 n - 1 + C n n 1 n) - 12 n + 11 = = (6 n + C n 1 6 n - 1 + . . . + C n n - 2 6 2 + n 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6 n + Cn16 n - 1 +. . . + Cnn - 2 6 2 - 6 n + 12 = = 6 (6 n - 1 + Cn 1 6 n - 2 + . . . + Cn n - 2 6 1 - n + 2)

Subtraktivní tvir je děleno 6, protože jeden z multiplikátorů je roven 6. Zvіdsi vyplivaє, scho může být celé přirozené číslo, navíc lze úkoly dělit 6.

Návrh: tak.

Pokud se zeptáte sami sebe pomocí polynomu, dalším krokem je transformace. Bachimo, které je nutné sáhnout po rozložení bohatého člena do multiplikátorů. Je důležité, abych v budoucnu změnil n, zapíšu si to jako n = 6 m, n = 6 m + 1, n = 6 m + 2, …, n = 6 m + 5, číslo m je cylim. Jako dilema v případě skin n matima sens bude dilema daného čísla o 6 převedeno na libovolnou hodnotu celého čísla n.

zadek 5

Bring, scho be-jaká je hodnota celého čísla n viraz n 3 + 5 n děleno 6 .

Řešení

U klasu je možné rozložit na multiplikátory úkolů viraz i, je možné, že n 3 + 5 n \u003d n · (n 2 + 5). Jestliže n = 6 m, pak n (n 2 + 5) = 6 m (36 m 2 + 5) . Je zřejmé, že přítomnost násobitele čísla 6 dokazuje, že jej lze dělit 6, ať už existuje nějaká celočíselná hodnota m.

Stejně jako n = 6 m + 1 můžeme

n (n 2 + 5) = (6 m + 1) 6 m + 1 2 + 5 = = (6 m + 1) (36 m 2 + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) 6 (6 m 2 + 2 m + 1)

Twir bude děleno 6, k tomu je násobitel, k tomu je 6.

Jestliže n = 6 m + 2, pak

n (n 2 + 5) = (6 m + 2) 6 m + 2 2 + 5 = = 2 (3 m + 1) (36 m 2 + 24 m + 4 + 5) = = 2 (3 m + 1 ) 3 (12 m 2 + 8 m + 3) = = 6 (3 m + 1) (12 m 2 + 8 m + 3)

Viraz bude dělitelný 6, útržky záznamu mohou být násobitelem 6.

Ve stejném pořadí i počítám pro n \u003d 6 m + 3, n \u003d 6 m + 4 a n \u003d 6 m +5. Je jasné, že úkoly budou dělené 6 pro jakoukoli hodnotu n.

Nyní se podívejme na aplikaci řešení doplňkové metody matematické indukce. Bude zrobleno řešení pro mysli prvního zadku.

zadek 6

Abychom přinesli, že mysl 7 n - 12 n + 11 bude rozdělena na 6 de priyme be-yakі tsіli znachenya virazu.

Řešení

Dánský zadek je vyroben metodou matematické indukce. Algoritmus vikonaemo suvoro pokrokovo.

Zkontrolujme znovu identitu viru o 6 při n = 1. Pak si to vezmeme na vědomí 7 1 - 12 · 1 + 11 = 6. Je zřejmé, že 6 bude sdílet na sebe.

Vezměme n = k pro vnější výraz. Pokud to nebude dělitelné 6, můžete uvažovat, že 7k - 12k + 11 bude dělitelné 6.

Přejděme k důkazu dělení 6 ve tvaru 7 n - 12 n + 11 pro n = k + 1 . Je důležité, že je nutné uvést dělení na 7 k + 1 - 12 (k + 1) + 11 až 6, navíc opravit ty, že 7 k - 12 k + 11 je děleno 6.

7 k + 1 - 12 (k + 1) + 11 = 7 7 k - 12 k - 1 = = 7 (7 k - 12 k + 11) + 72 k - 78 = = 7 (7 k - 12 k + 11) + 6 (12 000–13)

Je zřejmé, že pokud bude první sčítání dělitelné 6, pak 7 k - 12 k + 11 bude dělitelné 6 . Další sčítání je také děleno 6, protože jeden z násobitelů je roven 6. Zvіdsi robimo visnovok, scho všechny mysli do konce, a to znamená, že celý součet je dělen 6.

Metoda matematické indukce, která přivede tyto úlohy do tvaru 7 n - 12 n + 11, bude dělitelná 6, pokud n nabývá hodnoty přirozeného čísla.

Jak jste si vzpomněl na pardon v textu, buďte hodný, podívejte se na to a stiskněte Ctrl + Enter

Etkarová Alina

Závěrečný úvodní projekt pro 6. ročník

Zavantage:

Čelní pohled:

Krajská vědecká konference vědců

Sekce "Matematika"

„Znaky pravosti přirozených čísel“

Etkarová Alina,

žák 6. třídy

nádraží DBOU ZOSH Navantagewalna

Vědecký kurátor:

Stepanova Galina Oleksiivna

učitel matematiky

nádraží DBOU ZOSH Navantagewalna

S. Kishki

Vstup ……………………………………………………………………………… 3

1. Kapitola 1. Trochy dějin ……………………………………………………….4 -5

2. Rozdělení 2. Známky pravosti

5-6

2.2. Znaménka dělitelnosti přirozených čísel 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, odčítání samostatně…………………………………………………………………..6-7

2.3. Známky šera na 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, popsané v různých jazycích............................ ..................................................... ....................................8-11

3. Kapitola 3 ............................................................. ... .................11-14

Višňovok. …………………………………………………………..patnáct

Seznam písemné literatury……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

Vstup

Relevantnost: V rámci hodiny výuky témat: „Znaky dělitelnosti přirozených čísel 2, 3, 5, 9, 10“ se výživa dělitelnosti čísel zmírnila. Je zřejmé, že více než jedno přirozené číslo lze bez přebytku vydělit jiným přirozeným číslem. Když rozdělíme přirozená čísla, vezmeme si přebytek, dovolte pardon, ve výsledku - strávíme hodinu. Znaky dělitelnosti bezesporu pomáhají nastavit, chi dilatovat jedno přirozené číslo jiné. Musel jsem napsat další práci s tsієї tématy.

Hypotéza: Pokud dokážete přiřadit dilema přirozených čísel 2, 3, 5, 9, 10, pak jsou zodpovědná následující znaménka, za která můžete přiřadit dilema přirozených čísel a dalších čísel.

Následný objekt:Podіlnіst přirozená čísla.

Předmět dotazu:Známky pravosti přirozených čísel.

Cílová: Doplňte již znaky dělitelnosti přirozených čísel nacionálně, jako jsem zlomyslný.

Manažer:

Viz historiografie výživy.
Opakujte známky falešnosti na 2, 3, 5, 9, 10, jako bych byl zlobivý ve škole.
Pokračujte nezávisle na znaménkách platnosti přirozených čísel o 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Podívejte se na doplňkovou literaturu, která potvrzuje správnost hypotézy o použití dalších znaků dělitelnosti přirozených čísel a správnost odhalených znaků dělitelnosti.
Vypište znaky falešnosti přirozených čísel na 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 z doplňkové literatury.
Zrobiti visnovok.
Vytvořte prezentaci na téma: Známky dělitelnosti.
Složte brožuru "Znaky falešnosti přirozených čísel."

Novinka:

V průběhu projektu jsem získal znalosti o znacích dělitelnosti přirozených čísel.

následné metody:Výběr materiálu, zpracování dat, ostraha, párování, analýza, objasňování.

Sekce 1. Není bohatá na historii.

Znak dělitelnosti je pravidlo, kterým lze bez odečtení dělení použít, že jedno přirozené číslo lze dělit i jinak. Známky dělitelnosti vždy tikají v různých oblastech světa a v různých hodinách.

Známky pravosti na 2, 3, 5, 9, 10 byly staromódní. Znak dělitelnosti pro 2 znali staří Egypťané 2 tisíce let před naším a znaky dělitelnosti pro 2, 3, 5 zavedl italský matematik Leonardo Fibonacci (1170-1228).

Se zavedením témat: „Jednoduše ta skladová čísla“ byla výživa o skládání tabulek prvočísel méně důležitá, takže jednoduchá čísla hrají důležitou roli při výpočtu všech čísel. Zdá se, že oleksandrijská doktrína Eratosthena, který žije ve 3. století př. n. l., vznikla ve stejné době. Yogova metoda skládání seznamu prvočísel se nazývala „Eratosthenovo síto“. Dejte mi vědět všechna jednoduchá čísla do 100. Zapišme si všechna čísla do 100.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Po vyplnění čísla 2 vyplníme všechny ostatní dvojice čísel. První použité číslo po 2 bude 3. Nyní, po dokončení čísla 3, zablokujeme čísla, která budou dělena 3. Poté přidáme čísla, která budou dělena 5. Výsledkem je, že všechna skladová čísla se objeví v neděli a ztratí se pouze jednoduchá čísla: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. , můžete přidat seznamy prvočísel, Great 100.

Na sílu dělitelnosti čísel se dívali Pythagorejci. Teoreticky odvedli skvělou práci na typologii přirozených čísel. Pythagorejci je sdíleli se třídou. Byly vidět třídy: dokonalá čísla (počet hodnotnějších součtů vlastních dilníků, například: 6=1+2+3), přátelská čísla (jejich cennější součty dilnikіv, například 220 a 284: 284=1+ 2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110;220=1+2+4+71+142), složená čísla (trikátní číslo, druhé číslo), prvočísla a in.

Blaise Pascal Pythagoras. Leonardo z Pizanského Eratosthenes

(Fibonacci)

Velké ložisko na vinici je znakem dělitelnosti počtů, které zasel Blaise Pascal (1623-1662). Junius Blaise projevil ranou matematickou zdibnosti, když se naučil číst dříve, číst níže. Vzagali, jóga zadek - tse klasický vapadok dětský matematický génius. Své první matematické pojednání „Důkaz teorie konečných revizí“ napsal za 24 let. Přibližně ve stejnou hodinu zkonstruoval mechanický sčítací stroj, prototyp sčítacího stroje. V raném období jeho tvůrčí práce (1640-1650) znají různí učenci algoritmus pro rozpoznání znaménka dělitelnosti libovolného celého čísla na jakémkoli jiném čísle, pro které by se soukromé znaky měly kvílet. Yogo znamení polagє v ofenzivě: Přirozené číslo A rozdělit na jiné přirozené číslo b u toho je to méně, jako součet vytvoření číslic čísla A na vodpovidnі přebytky, vyhrál, když rozpodіlі razryadnyh odiny na číslo b, dіlitsya th číslo.

Včetně známek falešnosti pocházely od starých starců a matematiků.

Kapitola 2

2.1.Znaky dělitelnosti přirozených čísel, které používají školáci.

U slíbených hodnot je nutné, aby znali porozumění dilniku, násobnému, jednoduchému a skladovému číslu.

dilnik přírodní množství A pojmenovat přirozené číslo b, na jaka a podíl bez přebytku.

Často tvrzení o platnosti čísla A číslo b je vyjádřeno jinými ekvivalentními slovy: a je násobkem b, b je dilnik a, b je dělitelné a.

Promiňte, volají se přirozená čísla, jako by byli dva dilníci: 1 a samotné číslo. Například čísla 5,7,19 jsou jednoduchá, protože být děleno 1 a sebou samým.

Čísla, která se zdají být přes dva dilníky, se nazývají skladová čísla. Například číslo 14 May 4 dilniks: 1, 2, 7, 14, což znamená, že není skladem.

Včetně .....

2.2. Značky dělitelnosti přirozených čísel 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, odčítání samostatně.

Sledování dělící čáry, násobení přirozených čísel, hlídání výsledků kutilství, znal jsem zákony a odnášel takové známky autenticity.

Znak dělitelnosti pro 4.

254 = 100; 564 = 224; 123 4 = 492; 1254 = 500; 2345 4 = 93 80; 2500 4 = 100 00;

Vynásobením přirozených čísel čtyřmi jsem si vzpomněl, že čísla vytvořená ze dvou zbývajících číslic čísla se dělí 4 bez přebytku.

Znak dělitelnosti pro 4 zní takto: přirozený rok

Znak dělitelnosti pro 6.

S úctou, 6 = 2 3 Identifikační znak pro 6: Je-li přirozené číslo dělitelné současně 2 a 3, pak je dělitelné 6.

Aplikovat:

216 je dělitelné 2 (končí 6) a dělitelné 3 (8+1+6=15, 15?3), takže číslo je dělitelné 6.

Znak dělitelnosti pro 8.

Vynásobením přirozeného čísla 8 jsem si všiml tohoto vzoru, čísla končí třemi 0 nebo se zbývající tři číslice stanou číslem, jako je dělení 8.

Otzhe se takhle podepiš. přirozený rok

Znak dělitelnosti pro 15.

S úctou, 15 = 3 5

Aplikovat:

Znak dělitelnosti na 25.

Při násobení různých přirozených čísel 25 jsem vypracoval následující pravidlo: vytvořte konce s 00, 25, 50, 75.

Takže přirozeně číslo je dělitelné 25 a končí 00, 25, 50, 75.

Znamení dilimace o 50.

Čísla dělená 50: 50, 1

Znamenat, přirozené číslo je dělitelné 50 a více, pokud končí dvěma nulami nebo 50.

Pokud je například přirozené číslo, jsou tam sloupce a nuly, čísla jsou v jedné jednotce, pak se celé číslo vydělí jednou jednotkou.

Aplikovat:

25 600 děleno 100, protože čísla končí stejným počtem nul. 8975000 děleno 1000 od problematická čísla budou končit 000.

Zejména, soudě podle čísel a zaznamenávání zákonitostí, jsem formuloval znaky dělitelnosti a z doplňkové literatury jsem věděl, že znak dělitelnosti přirozených čísel 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 100 byl mnou správně formulován.

2.3 Znaky dělitelnosti přirozených čísel 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, popsané v různých džerlech.

Z dodatkovoї literatury byl znám znak kіlka dělitelnosti přirozených čísel 7.

P Maloobchodní dilimace za 7:

Aplikovat:

479345 není dělitelné 7, protože 479-345 = 134, 134 není dělitelné 7.

Aplikovat:

4592 děleno 7, protože 45 2 = 90, 90 +92 = 182, 182 děleno 7.

57384 je děleno 7, protože 573 2 = 1146, 1146 +84 = 1230,1230 nedělitelné 7

aba

Aplikovat:

bekot

Aplikovat:

aab

Aplikovat:

bekot

Aplikovat:

10÷7=1 (zup 3)

100÷7=14 (zup 2)

1000÷7 = 142 (zbytek 6)

10 000 × 7 = 1 428 (zup 4)

100000Â7=14285 (zbytek 5)

6+3 2+1 3 +6 = 21, 21/7

Číslo 354722 není dělitelné 7, protože 3 5 +5 4 +4 6 +7 2 +2 3 +2 = 81, 81 neděleno 7 7; 6-zbytek.v podzákladě 1000 na 7; 2-zbytek.v podzákladě 100 na 7; 3-odpoč.

Pododdělovací znaky pro 11.

zadek:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Aplikovat:

Znak dělitelnosti pro 12.

Aplikovat:

Pododdělovací znaky pro 13.

Aplikovat:

Znak dělitelnosti ve 14.

Aplikovat:

Číslo 35882 je děleno 2 a 7, ale je také děleno 14.

Znak dělitelnosti v 19.

Aplikovat:

153 4

182 4 182 +4 2 = 190, 190/19, později, číslo 1824/19.

Známky pravosti na 37.

zadek:

V.o., in Všechny přenesené znaky dělitelnosti přirozených čísel lze rozdělit do 4 skupin:

1 skupina - pokud je dělitelnost čísel přiřazena zbývající (їm) číslici (mi) - jedná se o znaky dělitelnosti 2, 5, bitem jedna, 4, 8, 25, 50;

Skupina 2 - pokud je dělitelnost čísel přiřazena součtu číslic čísla - znaménka dělitelnosti 3, 9, 7 (1 znak), 11, 37;

3. skupina - pokud je dělitelnost čísel uvedena po vikonnannya yakyhos diy přes číslice čísla - znaky pravosti na 7, 11, 13, 19;

Skupina 4 - pokud označení dělitelnosti čísla zastosovuyutsya jiné znaky dělitelnosti - stejné znaky dělitelnosti 6, 12, 14, 15.

Kapitola 3

Známky pravosti zastosovuyutsya, když jsou známy GCD a NOC, stejně jako když jsou porušovány textové příkazy o stavu GCD a NOC.

Úkol 1:

Žáky 5. ročníku si koupilo 203 tutorů. Kozhen koupil stejný počet knih. Skіlki bulo p'yatiklasnikіv i skіlki pridruchnikіv, když jsem od nich koupil kůži?

Řešení: Urážlivé hodnoty, jak je třeba označovat, mohou být v celých číslech, tobto. rebuvat střed dilníků v čísle 203. Rozšířením 203 na násobiče vezmeme: 203 \u003d 1 ∙ 7 ∙ 29.

3 praktická zrcátka.

Návrh:

Úkol 2 .

Řešení:

Návrh:

Úkol 3: V 9. ročníku si na kontrolní práci vzala 1/7 žáků pětky, 1/3 čtyřky, 1/2 trojky. Ostatní roboti se ukázali jako nevyhovující. Kolik je těchto robotů?

Řešení:

Matematické informace ředitele školy jsou připuštěny, počet žáků ve třídě 84, 126 je příliš malý. muž. Ale z mirkuvan zdravé gluzdu vplivaє, scho nejpříjemnější vіdpoviddu є číslo 42.

Návrh: 1 robot.

Úkol 4.

Řešení: První z těchto tříd může mít: 17, 34, 51 ... - čísla, která jsou násobky 17. Pro druhou třídu: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - čísla, která jsou násobky 9 Musíme vybrat 1 číslo z první sekvence a 2 je číslo té druhé, takže smrad celkem dal 70. Navíc v těchto sekvencích je počet členů menší než malý, což může odrážet počet děti ve třídě. Tse mirkuvannya významně protínají možnosti řazení. Jako jediná možnost se jevil pár (34, 36).

Návrh:

Úkol 5.

Řešení:

Návrh:

Úkol 6. Dva autobusy jezdí po stejné oblasti s různými trasami. V jednom z autobusů je cesta tam a zpět třikrát 48 minut a za další 1 rok 12 minut. Pojedou autobusy za chvíli znovu na stejné náměstí?

Řešení:

Návrh:

Úkol 7. Daná tabulka:

Návrh:

Manažer 8.

Návrh:

Manažer 9.

Návrh:

Otzhe, zmátli jsme ve znamení falešnosti přirozených čísel v hodině třešňového dne.

Višňovok.

V průběhu práce jsem se dozvěděl o historii vývoje znaku pravosti. Sama správně formulovala znaky falešnosti přirozených čísel pro 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, které znala z doplňkové literatury. Pratsiyuchi s různými dzherelami, perekonalas, že іnshі známky dělení přirozených čísel (po 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), schopotvrdil správnost hypotézyo základu dalších znaků pravosti přirozených čísel.

Z doplňkové literatury bylo známo, že v hodině jejího dokončení se ustavují známky pravosti přirozených čísel.

S vědomím, že vikoristannya více než splaceno je známkou falešnosti přirozených čísel, výrazně zjednoduší výpočet, ušetří hodinu; včetně výčtu pardonů, abyste mohli pracovat na hodinu vikonanny de rozpodila. Dalším krokem je naznačit, že formulace listin je znakem skládání. Je možné, že ten smrad se ve škole nezvyšuje.

Materiál, který jsem si vybral jako brožuru, jsem navrhl, jak můžete vyhrát v hodinách matematiky, ve skupinových hodinách matematiky. Učitelé matematiky mohou testovat libovolný počet témat. Doporučuji také, abyste svou práci poznali stejně staří, pokud se chcete o matematice dozvědět více, nižší než běžný školák.

Nadalі se můžete podívat na následující jídlo:

Vize je znakem autenticity;

Z'yasuvati, jaké jsou známky nepravdy, pro pokračování takových manželství, stále vím?

Seznam vítězné literatury (dzherel):

Galkin V.A. Úkol na téma „Znaky dělitelnosti“.// Matematika, 1999. - č. 5.-S.9.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental O.L. Absolventská práce z matematiky v 6.-8. - M.: Prosvitnitstvo, 1984.
Kaplun L.M. GCD a NOC v čele. // Matematika, 1999. - č. 7. - S. 4-6.
Pelman Ya.I. Matematika - tse tsikavo! - M.: TERRA - Knižní klub, 2006.
Encyklopedický slovník mladého matematika. / Řád. Savin A.P. - M.: Pedagogika, 1989. - S. 352.
Internet

Známky pravosti

V 5.

Toto číslo končí 0,5.

Dne 2.

Jak číslo končí 0, 2, 4, 6, 8

dne 10.

Jak číslo končí 0

o 3 (9).

Kolik číslic čísla je dělitelných 3 (9).

Čelní pohled:

Návrh:

Manažer 8.

Napište něco jako devítimístné číslo, ve kterém nejsou žádné číslice, která se opakují (všechny číslice jsou různé) a rádi se dělí bez přebytku 11. Napište nejvíce těchto čísel, nejméně jich.

Návrh: Největší je 987652413, nejmenší je 102347586.

Manažer 9.

Ivane, když uvažujeme o jednoduchém trojciferném čísle, všechna čísla jsou jiného druhu. Na stejném obrazci může skončit tak, že zbývající obrazec je roven součtu prvních dvou. Uveďte příklady takových čísel.

Návrh: Stačí dokončit číslo 7. Existují 4 taková čísla: 167, 257, 347, 527.

Znak dělitelnosti pro 2

I když přirozené číslo končí 2, 4, 6, 8, 0, lze jej dělit 2, aniž by bylo příliš mnoho.

Znaménko dělitelnosti 5.

Pokud číslo končí 0 nebo 5, lze jej vydělit 5, aniž by bylo příliš mnoho.

Znak pravosti pro 3

Pokud je součet číslic čísla dělitelný 3, pak je číslo dělitelné 3.

Aplikovat

684: 3, protože K. 6 + 8 + 4 = 18, 18: 3, což znamená i číslo: o 3.

763 nemaє: na3, protože. 7 +6 +3 \u003d 16, 16 je hloupý: o 3, takže 763 je hloupý: o 3.

Identifikační znak pro 9

Pokud je součet číslic čísla dělitelný 9, pak samotné číslo je dělitelné 9.

Aplikovat

765:9, protože 7+6+5=18, 18:9, což znamená 765:9

881 ne: do 9, protože 8 + 8 + 1 \u003d 17, 17 není možné: do 9, takže 881 není možné: do 9.

Znak dělitelnosti pro 4.

254 = 100; 564 = 224; 123 4 = 492; 1254 = 500; 2345 4 = 93 80; 2500 4 = 100 00; …

přirozený rok číslo je dělitelné 4 více nebo méně, pokud jsou zbývající dvě číslice 0 nebo je číslo dělitelné 4.

Znak dělitelnosti pro 6.

S úctou, 6 = 2 3 Identifikační znak pro 6:

Zatímco přirozené číslo je dělitelné 2 a 3 zároveň, je dělitelné 6.

Aplikovat:

816 je děleno 2 (končí 6) a je děleno 3 (8+1+6=15, 15?3), takže číslo je děleno 6.

625 není dělitelné 2, není dělitelné ani 3, ani není dělitelné 6.

2120 je dělitelné 2 (končí 0), ale není dělitelné 3 (2+1+2+0=5, 5 není dělitelné 3), stejné číslo není dělitelné 6.

279 je dělitelné 3 (2+7+9=18, 18:3), ale není dělitelné 2 (končí nepárovou číslicí), což znamená, že číslo není dělitelné 6.

Znak dělitelnosti pro 7.

já Přirozené číslo je dělitelné 7 více nebo méně než jedna, je-li rozdíl mezi počtem tisíc a číslem vyjádřeným zbývajícími třemi číslicemi dělitelný 7.

Aplikovat:

478009 děleno 7, protože 478-9 = 469, 469 děleno 7.

475341 není dělitelné 7, protože 475-341 = 134, 134 není dělitelné 7.

já Přirozené číslo je dělitelné 7, jako součet poddvojného čísla, které stojí až desítky a řeší číslo dělitelné 7.

Aplikovat:

4592 děleno 7, protože 45 2 = 90, 90 +92 = 182, 182/7.

xv a v následujícím roce 12 xv. Začnou autobusy za chvíli znovu na stejném náměstí?

Řešení: LCM(48, 72) = 144 (xv). 144 hv \u003d 2 roky 24 hv.

Návrh: Po 2 letech 24 min. autobusy opět pojedou na stejné náměstí.

Úkol 7. Daná tabulka:

Do prázdných buněk napište následující čísla: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Řešení: První z těchto tříd může mít: 17, 34, 51 ... - čísla, která jsou násobky 17. Pro druhou třídu: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - čísla, která jsou násobky 9 Musíme vybrat 1 číslo z první řady a 2. číslo je jiné, takže smrad celkem dal 70. Navíc v těchto posloupnostech může jen malý počet členů ukázat počet dětí ve třídě. Tse mirkuvannya významně protínají možnosti řazení. Jako jediná možnost se jevil pár (34, 36).

Návrh: První třída má 34 žáků, druhá třída má 36 žáků.

Úkol 5.

Jak najdu hrst stejných dárků, mohu je vyrobit z 320 hor, 240 zuceroků, 200 jablek? Skilki gorіhіv, tsukerok a jablka budou na kožním dárku?

Řešení: GCD(320, 240, 200) = 40 (dárky), potom bude mít dárek skin: 320:40 = 8 (horizonty); 240:40 = 6 (zukerok); 200:40 = 5 (jablka).

Návrh: Pleťový dárek má 8 gorіhіv, 6 tsukerok, 5 jablek.

Úkol 6.

Dva autobusy jezdí po stejné oblasti s různými trasami. V jednom z autobusů je zpáteční cesta třikrát 48

57384 je děleno 7, protože 573 2 = 1146, 1146 +84 = 1230, 1230 není dělitelné 7.

já Trojciferné přirozené číslo aba být dělitelný 7, takže a+b je dělitelné 7.

Aplikovat:

252 děleno 7, protože 2 + 5 = 7, 7/7.

636 je děleno 7, protože 6 + 3 = 9, 9 není dělitelné 7.

IV. Trojciferné přirozené číslo bekot dělitelné 7, protože součet číslic čísla je dělitelný 7.

Aplikovat:

455 děleno 7, protože 4 + 5 + 5 = 14, 14/7.

244 je děleno 7, protože 2 + 4 + 4 = 12, 12 není dělitelné 7.

V. Trojhodnotové přirozené číslo aab být dělitelný 7, takže 2a-b je dělitelné 7.

Aplikovat:

882 je děleno 7, protože 8 + 8-2 = 14, 14/7.

996 je děleno 7, protože 9 + 9-6 = 12, 12 není dělitelné 7.

VI. Chotír je přirozené číslo ve tvaru bekot , takže b-dvojité číslo bude dělitelné 7, takže b + 2a bude dělitelné 7.

Aplikovat:

2744 děleno 7, protože 27 +4 +4 = 35, 35/7.

Rok 1955 není dělen 7, protože 19 +5 +5 = 29, 29 není dělitelné 7.

VII. Přirozené číslo je dělitelné pouze 7 a pouze jednou, pokud je výsledek zadání zbývající zbývající číslice třetího čísla bez zbývající číslice dělitelný 7.

Aplikovat:

483 děleno 7, protože 48-3 2 = 42, 42/7.

564 je děleno 7, protože 56-4 2 = 48, 48 není dělitelné 7.

VIII. Přirozené číslo je dělitelné 7 a pak, pokud se získá součet vytvořených cifer čísla na základě redundance při dělení cifer číslem 7, dělitelné 7.

Aplikovat:

10÷7=1 (zup 3)

100÷7=14 (zup 2)

1000÷7 = 142 (zbytek 6)

10 000 × 7 = 1 428 (zup 4)

100000Â7=14285 (zbytek 5)

1000000׃7=142857 (zost 1) a přebytky se znovu opakují.

Číslo 1316 je dělitelné 7, protože jeden· 6+3 2+1 3 +6 = 21, 21/7

Číslo 354722 není dělitelné 7, protože 3 5 +5 4 +4 6 +7 2 +2 3 +2 = 81; 6-přebytek v dolní části 1000 o 7; 2-přebytek v dolní části 100 o 7; 3-přebytek v dolní části 10 o 7).

Počet dárků může být dilnik čísel kůže, která ukazují počet pomerančů, zucerok a hor, navíc největší z těchto čísel. Potřebuje znát GCD těchto čísel. GCD (60, 175, 225) \u003d 15. Kožený dárek k mestitime: 60: 15 \u003d 4 - pomeranče,175: 15 \u003d 11 - horká a 225: 15 \u003d 15 - zukerok.

Návrh: V jednom daru - 4 pomeranče, 11 hor, 15 zuceroků.

Úkol 3: V 9. ročníku si na kontrolní práci vzala 1/7 žáků pětky, 1/3 čtyřky, ½ trojky. Ostatní roboti se ukázali jako nevyhovující. Kolik je těchto robotů?

Řešení: Řešení úloh může být číslo, které je násobkem čísel: 7, 3, 2. Známe nejmenší počet takových čísel. NOK (7, 3, 2) \u003d 42. Můžete sečíst skóre za mentální úkol: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) \u003d 1 - 1 neúspěšné.

Matematické definice zadání problému jsou povoleny, ale počet studentů ve třídě 84, 126 je příliš malý. muž. Ale z mirkuvan zdravé gluzdu vplivaє, scho nejpříjemnější vіdpoviddu є číslo 42.

Návrh: 1 robot.

Úkol 4.

Dvě třídy mají najednou 70 žáků. V jedné třídě se na vyučování nedostavilo 7/17 žáků a v jiné třídě si odznaky z matematiky odnesly 2/9. Kolik studií v kožní třídě?

Aplikovat:

25 600 děleno 100, protože čísla končí stejným počtem nul.

8975000 děleno 1000 od problematická čísla budou končit 000.

Úkol 1: (Vikoristannya spilnykh dilnikov, že NOD)

Třídu Uchni 5 "A" zakoupilo 203 asistentů. Kozhen koupil stejný počet knih. Skіlki bulo p'yatiklasnikіv i skіlki pridruchnikіv, když jsem od nich koupil kůži?

Řešení: Urážlivé hodnoty, jak je třeba označovat, mohou být v celých číslech, tobto. rebuvat mid-dilnikov číslo 203. Deklarujeme-li 203 pro násobiče, vezmeme:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

3 praktická zrcátkadále, že asistentů může být 29. takže počet asistentů nelze zvýšit1, protože 203 pro každý typ studenta..

Návrh: 29 žáků páté třídy; 7 asistentů

Úkol 2 . Є 60 pomerančů, 165 hor a 225 zuceroků. Jaký největší počet stejných dárků pro děti lze vyrobit ze zásob? Co vidíte před skin kitem?

Řešení:

Znak dělitelnosti pro 8.

1258 = 1000; 242 8 = 1936; 5128 = 4096; 6008 = 4800; 12348 = 9872; 122875 8 = 983 000;

přirozený rok číslo je dělitelné pouze 8 a pouze v případě, že zbývající tři číslice jsou dělitelné 0 nebo nastavte číslo, které je dělitelné 8.

Pododdělovací znaky pro 11.

I. Číslo je dělitelné 11, protože rozdíl mezi součtem číslic, které stojí na nespárovaných místech, a součtem číslic, které stojí na spárovaných místech, je násobkem 11.

Maloobchod může být záporné číslo nebo 0, ale může to být násobek 11. Číslování jde vpravo.

zadek:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 není násobek 11, takže celé číslo je dělitelné 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 je násobek 11, opět je celé číslo dělitelné 11.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 není násobek 11, takže celé číslo je dělitelné 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 je násobek 11, opět je celé číslo dělitelné 11.

II. Přirozené číslo je ve vzhledu rozděleno pravou rukou na skupiny po 2 číslicích a sečíst čísla skupiny. Pokud je součet násobkem 11, pak je navzorkované číslo násobkem 11.

Příklad: Je příznačné, že číslo 12561714 je dělitelné 11.

Číslo růže ve skupinách po dvou číslicích pro kůži: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 je dělitelné 11, takže celé číslo je dělitelné 11.

III. Třímístné přirozené číslo je dělitelné 11, protože součet doslovných číslic čísla se rovná číslicím blízko středu. Vidpov_d složil z tichých čísel sám.

Aplikovat:

594 děleno 11, protože 5+4=9, 9-uprostřed.

473 děleno 11, protože 4+3=7, 7- uprostřed.

861 je děleno 11, protože 8+1=9 a uprostřed je 6.

Znak dělitelnosti pro 12.

Přirozené číslo je dělitelné 12 a pak, pokud je dělitelné 3 a 4 zároveň.

Aplikovat:

636 je děleno 3 a 4 a znovu je děleno 12.

587 není děleno 3, ani 4, ani není děleno 12.

27126 není dělitelné 3, ale není dělitelné 4, ale není dělitelné 12.

Známky pravosti na 37.

I. Přirozené číslo je dělitelné 37, stejně jako součet čísel, která jsou v desátém záznamu tvořen trojicemi číslic tého čísla, se obdobně dělí 37.

Příklad: Je příznačné, že číslo 100048 je dělitelné 37.

100/048 100+48=148, 148 je dělitelné 37, opět číslo je dělitelné 37.

II. Třímístné přirozené číslo, psané stejnými číslicemi, dělitelné 37.

zadek:

Čísla 111, 222, 333, 444, 555, ... jsou dělena 37.

Znak pravosti pro 25

Přirozené číslo je dělitelné 25, ale bude končit 00, 25, 50, 75.

Znamení dilimace o 50.

Čísla dělená 50: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Ten smrad skončí buď 50 nebo 00.

Přirozené číslo je dělitelné 50 a více, pokud končí dvěma nulami nebo 50.

Konsolidovaný odznak pravosti za 10, 100, 1000,…

Pokud je například přirozené číslo, existují sloupce a nuly, sloupce jsou v jednotce hodnosti, pak se celé číslo vydělí hodností tsyu-

dobře sám.

Pododdělovací znaky pro 13.

I. Přirozené číslo je dělitelné 13, stejně jako rozdíl mezi počtem tisíc a číslem tvořeným zbývajícími třemi číslicemi je dělitelný 13.

Aplikovat:

Číslo 465 400 je dělitelné 13, protože 465 – 400 = 65, 65 děleno 13.

Číslo 256184 není dělitelné 13, protože 256 - 184 = 72, 72 není dělitelné 13.

II. Přirozené číslo je dělitelné 13 a pak, pokud je výsledek zbývající číslice vynásobený 9, je toto číslo bez zbývající číslice dělitelné 13.

Aplikovat:

988 děleno 13, protože 98 - 9 8 = 26, 26 děleno 13.

853 není děleno 13, protože 85 - 3 9 = 58, 58 není dělitelné 13.

Znak dělitelnosti ve 14.

Přirozené číslo je dělitelné 14 a pak, pokud je dělitelné 2 a 7 zároveň.

Aplikovat:

Číslo 45826 není dělitelné 2, ale není dělitelné 7, ale není dělitelné 14.

Číslo 1771 je dělitelné 7, ale není dělitelné 2, ale není dělitelné 14.

Znak dělitelnosti pro 15.

S úctou, 15 = 3 5.I když je přirozené číslo děleno 5 a 3 současně, je děleno 15.

Aplikovat:

346725 je děleno 5 (končí 5) a je děleno 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), stejné číslo je děleno 15.

48732 je dělitelné 3 (4 +8 +7 +3 +2 = 24, 24:3), ale není dělitelné 5, takže číslo není dělitelné 15.

87565 je děleno 5 (končí 5), ale není děleno 3 (8+7+5+6+5=31, 31 není děleno 3), stejné číslo není děleno 15.

Znak dělitelnosti v 19.

Přirozené číslo je dělitelné 19 bez přebytku, a je-li jich více než deset, složené s dílčí číslicí 1, dělitelné 19.

Je třeba si uvědomit, že počet desítek v počtu požadavku není číslo v řádu desítek, ale celkový počet desítek v celém počtu.

Aplikovat:

153 4 desítky-153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 není dělitelné 19, takže i 1534 není dělitelné 19.

182 4 182 +4 2 = 190, 190:19, později, číslo 1824:19.

železnice DBOU ZOSH Umění. Navantagewalna

Známky pravosti

PŘÍRODNÍ

ČÍSLO

Sestavil Etkareva Alina.

2013 rіk

Pojďme se podívat na ty "Znamení pravosti na 4". Zformulujeme znaky, doložíme to, podíváme se na hlavní uplatnění úlohy. Například jsme rozdělili čísla o přístupech, abychom se mohli zastavit v tichých situacích, pokud potřebujeme dovést dělení čísel na 4, dané doslovnou virázou.

Znak dělitelnosti pro 4, pažba

Můžeme jít jednoduchou cestou a přidat jednohodnotové přirozené číslo 4, abychom ověřili, že toto číslo je dělitelné 4 bez přebytku. Najdete i s dvoumístnými, třímístnými a in. čísla. Prote, čím více se čísla rozplývají, tím více je složené z něj vést deník jedinou metodou kontroly pravosti їх y 4.

Je snazší vyhrát odznak pravosti do 4. Vіn přenesení opětovného ověření dělitelnosti jedné nebo dvou zbývajících číslic celého čísla 4 . Co to znamená? Tse znamená, že jakmile je číslo a děleno 4 v tomto případě, jedna nebo dvě krajně pravé číslice záznamu čísla a jsou dělené 4. Pokud číslo, které se sečte ze dvou krajních pravých číslic čísla a, není dělitelné 4 bez přebytku, pak číslo a není dělitelné 4 bez přebytku.

zadek 1

Yaki z čísla 98 028 , 7 612 ta 999 888 777 být dělitelný 4?

Řešení

Extrémně pravé číslice čísel − 98028, 7612 sečtěte čísla 28 a 12, která lze bez přebytku dělit 4. Tse znamená, že čísla jsou − 98028, 7612? být dělitelný 4 bez přebytku.

V zadání čísla ponechte dvě číslice 999 888 777 schválit číslo 77, aby nebylo děleno 4 bez přebytku. Tse znamená, že číslo nelze bez přebytku dělit 4.

Návrh:− 98 028 a 7 612 .

Stejně jako před číslicí v záznamu čísla є 0, pak musíme vzít tuto nulu a podívat se na krajní pravou číslici, která byla v záznamu vynechána. Vyjděte, dvě číslice 01 jsou nahrazeny 1. A teď, jeden po druhém, který se ztrácí, robimo visnovki o těch, které rozšiřují poslední číslo o 4.

zadek 2

Číslo chi 75 003 і − 88 108 za 4?

Řešení

Dvě zbývající číslice čísla 75 003 - bachimo 03 . Pokud trefíte nulu, pak v nás zůstane číslo 3, takže nemůžeme dělit 4 bez přílišného množství. Tse znamená, že číslo je venku 75 003 4 bez příliš mnoho nelze rozdělit.

Nyní vezměte dvě zbývající číslice čísla − 88 108 . Tse 08, u kterého můžeme vynechat zbytek čísla 8. 8 děleno 4 bez přebytku.

Tse znamená, že číslo je venku − 88 108 můžeme podřadit o 4, aniž bychom příliš mnoho.

Návrh: 75 003 není dělitelný 4, ale − 88 108 - podíl.

Čísla, která mají například dvě nuly, jsou také dělitelná 4 bez přebytku. Například 100 je děleno 4, vyjde 25. Pravidlo násobení čísla 100 nám umožňuje uvést pravdivost tohoto tvrzení.

Lze si představit, že bohatě stačí číslo a, záznam takového praváka končí dvěma nulami, jako tver 1 100, číslo 1 zadejte od čísla a, takže pravotočivý záznam by měl obsahovat dvě nuly. Například 486700 = 4867 100.

tvir 1 100 pomsta multiplikátor 100, který je dělený 4. Tse znamená, že tse hover twir je děleno 4 .

Doklad o známkách pravosti za 4

Představte si, že jste přirozené číslo A při pohledu na žárlivost a = a1 100 + a0, v jakém počtu 1- celé číslo A, z jehož záznamu byly odstraněny dvě zbývající číslice, a číslo 0- všechny dvě krajně pravé číslice ze zadání čísla A. Pokud vyhrajete konkrétní přirozená čísla, pak ekvivalence matim vypadá nedefinovaná. Pro jedno a dvouciferná čísla a = a0.

Schůzka 1

Nyní se přesuneme k síle dilematu:

číslo submodulu A na modulu čísla b je nutné a dostačující, aby bylo číslo Ačíslo b bylo distribuováno na terči;
jsou-li v rovnosti a = s + t všechny členy kromě jednoho vyděleny číslem b, pak se číslem b vydělí celý člen, který chybí.

Nyní, když jsme si osvěžili vzpomínku na nezbytnou sílu šera, přeformulujeme důkaz příznaků šera o 4 jako nezbytnou a dostatečnou mysl šera o 4.

Věta 1

Dvě zbývající číslice v záznamu čísla a rozdělil 4 – to je nutné, aby bylo potřeba dostatek rozumu k dělení celého čísla a 4.

Důkaz 1

Nech toho, šo a = 0, Důkazová věta není vyžadována. Abychom vyřešili celá čísla a, můžeme vypočítat modul čísla a, což je kladné číslo: a \u003d a 1 100 + a 0

Ke zlepšení toho, co je tvir 1 100 vždy dělitelné 4 a také se zlepšením mocniny dělitelnosti, jak jsme uvedli více, se můžeme dopracovat k následujícímu tvrzení: je-li číslo a dělitelné 4, pak je modul čísla a dělitelný 4 , pak s rovností a \u003d a 1 100 + a 0 následuje 0 dělitelné 4. Tak jsme přinesli potřebu.

Rovnost a = a 1 100 + a 0 je jasná, že modul a je dělen 4 . Tse znamená, že samotné číslo a je dělitelné 4. Tak jsme přinesli prosperitu.

Іnshі vypadki podіlnostі 4

Podívejme se na rozdíly, pokud je potřeba nastavit poddělení pro 4 celá čísla daná desetinnou virázou, spočítejte hodnotu takového požadavku. Pro koho se můžeme vydat na blížící se cestu:

odhalit nepřítomnost viraz při pohledu na výrobu velkého množství multiplikátorů, z nichž jeden bude dělitelný 4;
pěstovat visnovok na základě dělitelnosti toho, kdo
4 .

Vzorec Newtonova binomu často pomáhá s úkolem.

zadek 3

Chi děleno 4 hodnotami virazu 9 n - 12 n + 7 s jakýmkoli přírodním n?

Řešení

Můžeme odhalit 9 jaků sumi 8 + 1 . To nám dává příležitost použít Newtonův binomický vzorec:

9 n - 12 n + 7 = 8 + 1 n - 12 n + 7 = = C n 0 8 n + C n 1 8 n - 1 1 +. . . + C n n - 2 8 2 1 n - 2 + C n n - 1 8 1 n - 1 + C n n 1 n - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 8 n - 1 · 1+. . . + Cnn - 2 8 2 + n 8 + 1 - - 12 n + 7 = = 8 n + Cn 1 8 n - 1 1 +. . . + Cnn - 2 8 2 - 4 n + 8 = = 4 2 8 n - 1 + 2 Cn 1 8 n - 2 +. . . + 2 Cn n - 2 8 1 - n + 2

Tvere, jak jsme sebrali hodinu změny, pomsta násobitel 4 a viraz u chrámů je přirozené číslo. Tse znamená, že tento tvir lze dělit 4, aniž by bylo příliš mnoho.

Můžeme se ujistit, že viraz 9 n - 12 n + 7 je dělitelný 4 pro jakékoli přirozené n.

Návrh: Tak.

Ke splnění úkolu můžeme použít i metodu matematické indukce. Vzlykněte, abyste nedávali najevo svůj respekt k dalším detailům analýzy řešení, vezměte si velký zadek.

zadek 4

Řekněme, že 9 n - 12 n + 7 je dělitelných 4 pro libovolné přirozené n .

Řešení

Poučme se ze zřízení čeho, s významem n=1 hodnota virazu 9 n - 12 n + 7
můžete jej rozdělit na 4 bez dalšího.

Převzato: 9 1 - 12 1 + 7 \u003d 4. 4 děleno 4 bez přebytku.

Nyní můžeme nechat jít, jaký je význam n=k hodnotu virazu
9 n - 12 n + 7 dělitelné 4. Ve skutečnosti použijeme virázu 9 k - 12 k + 7, která může být dělitelná 4.

Musíme dokázat, že 9 n - 12 n + 7 s n=k+1 bude děleno 4, aby bylo opraveno, že 9k - 12k + 7 je děleno 4:

9 k + 1 - 12 (k + 1) + 7 = 9 9 k - 12 k - 5 = 9 9 k - 12 k + 7 + 96 k - 68 = = 9 9 k - 12 k + 7 + 4 24 k - 17

Odebrali jsme součet, ve kterém je první sčítání 9 9 k - 12 k + 7 děleno 4 na vazbě s našimi povolenkami o těch, že 9 k - 12 k + 7 je děleno 4, a další dodatečné 4 24 k - 17 pomstí násobitel 4 , na spojnici se kterým je děleno 4 . Tse znamená, že součet je dělitelný 4.

Návrh: Ukázali jsme, že 9 n - 12 n + 7 lze vydělit 4 pro jakoukoli přirozenou hodnotu n matematickou indukcí.

Můžeme vyhrát ještě jednoho pidkhida, abychom posunuli poddivizi deakyho viraze na 4. Tsey pidkhid sděluje:

důkaz toho, že hodnota dané virázy s proměnnou n je dělitelná 4 pro n = 4 m, n = 4 m + 1, n = 4 m + 2 n = 4 m + 3, de m- celé číslo;
visnovok o zvýšení pravosti této virázy na 4 libovolné celé číslo n.

zadek 5

Přineste, jaká je hodnota n n 2 + 1 n + 3 n 2 + 4 pro libovolné celé číslo n dělitelné 4.

Řešení

Nech toho, šo n = 4 m, bereme:

4 m 4 m 2 + 1 4 m + 3 4 m 2 + 4 = 4 m 16 m 2 + 1 4 m + 3 4 4 m 2 + 1

Odeberte násobitel 4, všechny ostatní násobiče jsou reprezentovány celými čísly. Tse dá odhad, aby umožnil, že tver je děleno 4.

Nech toho, šo n = 4 m + 1, bereme:

4 m + 1 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 + 3 4 m + 1 2 + 4 = = (4 m 1) + 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 4 m + 1 2 + 4

Jsem nový ve stvoření, kterému jsme vzali hodinu změny,
offsetový multiplikátor 4 .

Tse znamená dělitelné 4.

Za předpokladu, že n = 4 m + 2, pak:

4 m + 2 4 m + 2 2 + 1 4 m + 2 + 3 4 m + 2 2 + 4 = = 2 2 m + 1 16 m 2 + 16 m + 5 (4 m + 5) 8 (2 m2 + 2 m + 1)

Zde tvůrci odebrali multiplikátor 8, který lze o 4 ztratit. Tse znamená, že tse tvir je děleno 4.

Předpokládejme, že n = 4 m + 3 je přijatelné:

4 m + 3 4 m + 3 2 + 1 4 m + 3 + 3 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 2 8 m 2 + 12 m + 5 2 2 m + 3 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 4 m + 3 8 m 2 + 12 m + 5 16 m 2 + 24 m + 13

Tvіr vengeance multiplikátor 4, znamená dělení 4 bez přebytku.

Návrh: přinesli jsme, že víkend se dělí 4 pro jakékoli n.

Jak jste si vzpomněl na pardon v textu, buďte hodný, podívejte se na to a stiskněte Ctrl + Enter