Sayının 2'ye bölünmesi gibi 3. Orijinalliğin ana işaretleri. Rozdil II. Doğal sayıların gerçekliğinin işaretleri

13.04.2022

6. sınıfta matematik, sahtenin ve sahtenin işaretinin anlaşılmasına dayanmaktadır. Genellikle aşağıdaki numaralarda sahtelik belirtileri ile çevrilidirler:

Üzerinde 2 : kalan rakam 0, 2, 4, 6 veya 8 olabilir;
Üzerinde 3 : sayının rakamları toplamı 3'e bölünebilir;
Üzerinde 4 : kalan iki basamaktan oluşan sayı, 4'e bölünebilir;
Üzerinde 5 : kalan rakam 0 veya 5 olabilir;
Üzerinde 6 : annenin suçluluk sayısı 2 ve 3'te özgünlük belirtileri;
solukluk işareti 7 genellikle atlanır;
Sahtelik belirtisi için aynı şeyi söylemek nadirdir. 8 , vin, 2 ve 4 ile loşluk belirtilerine benzese de, sayı 8 ile seyreltilirse, üç basamaklı son 8 ile seyreltilirse, yeterli olması gerekir.
solukluk işareti 9 Sizi tanıyorum: Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünebilir. Dürüst olmak gerekirse, numerologların kazandığı gibi, tarihlerden gelen güçlü numaralara karşı bağışıklık geliştirmiyorsunuz.
solukluk işareti 10 , Chantly, en basiti: sayı sıfırla bitebilir.
Bazı altıncı sınıf öğrencileri, sahtekarlığın işaretini anlatıyor. 11 . Sayının rakamlarını saymak, eşleştirilmiş yerlerde durmak, sayıları görme sonucuna göre eşlenmemiş yerlerde durmak gerekir. Sonuç 11'e tam bölünüyorsa aynı sayı 11'e de tam bölünür.

Şimdi 7 ile loşluk işaretine dönelim.

Bir numara alıyoruz. Yogayı ciltte 3 basamaklı bloklara bölün (en küçük blok bir veya 2 basamak alabilir) ve dönüşümlü olarak qi blokları ekleyin/kaldırın.

Sonuç 7, 13 (veya 11) ile bölünebiliyorsa, aynı sayı 7, 13 (ilb 11) ile de bölünebilir.

Bu yöntemin temelleri, 7х11х13 = 1001 olduğu gerçeğiyle ilgili bir takım matematiksel hileler gibi.

Vykoristovuyuchi evrensel loşluk işareti, algılanabilir basit mezhep algoritmalarını indükleyebilir, bir sayıyı 7 ve diğer "işlenmemiş" sayılarla genişletebilirsiniz.

Sahtelik rozeti 7'ye kadar iyileştirildi
Ters çevirmek için, sayı 7'ye bölünürse, sayıdan kalan rakamı seçmeniz ve sonuçtan ikili basamağı seçmeniz gerekir. Sonuç 7'ye bölünebiliyorsa, aynı sayı 7'ye de bölünür.

Örnek 1:
Chi, 7'nci sayı 238'e bölünür mü?
23-8-8 = 7. Ayrıca 238 sayısı 7'ye bölünmüştür.
Doğru, 238 = 34x7

Qiu diyu bagatorazovo gerçekleştirilebilir.
Örnek 2:
Chi, 7'nci sayı 65835'e bölünür mü?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63, 7'ye bölünür (beni hatırlamasalar, 1 kroşe daha olabilirdi: 6-3-3 \u003d 0 ve 0 kesinlikle 7'ye bölünürdü).

Ayrıca 65835 sayısı 7'ye tam bölünür.

Yanlışlığın evrensel işaretleri temelinde, 4 ve 8 ile yanlışlık işaretlerini tamamlamak mümkündür.

4 kişilik iyileştirilmiş rozet
Örneğin, birlerin sayısının yarısı, onlarca sayısının toplamıdır - adam sayısı, sayı 4'e bölünür.

popo 3
Chi 52 sayısını 4'e böler mi?
5 + 2/2 \u003d 6, adam sayısı aynı, 4 sayısı bölünür.

popo 4
Chi, 134 sayısını 4'e böler mi?
3 + 4/2 = 5, sayı çiftlenmemiş, ayrıca 134 4'e bölünmez.

Sahtelik işareti 8 iyileştirildi
Yüzlerin iki katı, onlar ve birlerin yarısını toplarsanız ve sonuç 4'e bölünürse, sayı 8'e bölünür.

popo 5
Chi, 512 sayısını 8'e böler mi?
5*2+1+2/2 = 12, sayı 4'e bölünür, yine 512, 8'e bölünür.

popo 6
1984 sayısının 8'e bölümü kaçtır?
9*2+8+4/2 = 28, 4'e tam bölünür, 1984 de 8'e tam bölünür.

12 kişilik kimlik işareti- 3'te 4'te birlik imzası. Böylece sayı n'ye bölündü (pq'yu yenilemek daha pahalı olduğu için, OBEB(p, q) = 1), aynı anda hem p hem de q'ya bölünebilir.

Lütfen saygılı olun! Sob pratsyuvali depolama sahtekarlık belirtileri, suçluluk sayısının çarpanları karşılıklı olarak basittir. Bir sayının 8'e, 2'ye ve 4'e tam bölünüp bölünmediğini anlayamazsınız.

13 için iyileştirilmiş rozet
Tekrar düşünmek için sayı 13'e bölünürse kalan i sayısını її chotir sürelerinin sonucuna ekleyip toplamanız gerekir. Sonuç 13'e tam bölünüyorsa aynı sayı 13'e de tam bölünür.

popo 7
Ki, 8'inci sayı 65835'e bölünür mü?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

43 sayısı 13'e tam bölünemez, 65835 sayısı da 13'e tam bölünemez.

popo 8
Chi, 715'in 13'ünde bölünür mü?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13, 13'e bölünür ve 715 sayısı 13'e bölünür.

14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28'de özgünlük işaretleri Basit adımlar olmayan diğer depo numaraları, 12'ye bölünebilme işaretlerine benzer.

14 için: 2 ve 7 ile;
15 için: 3 ve 5 ile;
18 için: 2 ve 9 ile;
21 için: 3 ve 7 ile;
20 için: 4'e ve 5'e (aksi takdirde, başka bir şekilde, kalan rakam sıfır olabilir ve gerisi - bir çift);
24 için: 3 ve 8 ile;
26 için: 2 ve 13 ile;
28 için: 4'e ve 7'ye kadar.

Orijinallik rozeti 16'ya kadar iyileştirildi.
Bunun yerine, sayının 4 basamaklı sonunu 16 ile tersine çevirmek için, onluk sayısında 10 kat artışla bir rakamını dört basamaklı yüzler ve z ile ekleyebilirsiniz.
zbіlshenoy y binlerce basamağa eşittir ve sonucu 16'ya bölerek chi'yi tekrar eder.

popo 9
1984 sayısı 16 olarak mı değişiyor?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30, 16'ya bölünemez ve 1984 de 16'ya bölünemez.

popo 10
Chi, 1526 sayısını 16'ya böler mi?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48, 16'ya bölünmez ve 1526 da 16'ya bölünür.

Orijinallik rozeti 17'ye kadar iyileştirildi.
Revize etmek için sayı 17'ye bölünürse sayıdan kalan rakamı seçip sonuçtan 5 defa kalan rakamı seçmeniz gerekir. Sonuç 13'e tam bölünüyorsa aynı sayı 13'e de tam bölünür.

popo 11
59772 sayısı 17'den çıkar mı?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0, 17'ye bölünür ve 59772 sayısı da 17'ye bölünür.

popo 12
4913 sayısı 17 ile çıkarılır mı?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17, 17'ye bölünür ve 4913 sayısı da 17'ye bölünür.

19'da geliştirilmiş özgünlük rozeti.
Sayının 19'a bölünmesini uzlaştırmak için, kalan sayı sayıldıktan sonra eksik sayıya eklemek için kalan sayıyı toplamak gerekir.

popo 13
Chi, 9044 sayısını 19'a böler mi?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19, 19'a bölünür ve 9044 sayısı 19'a bölünür.

23 yaşında geliştirilmiş özgünlük rozeti.
Ters çevirmek için sayı 23'e bölünür, kalan rakam gerekir, 7 katına çıkarırım, kalan rakam tahmin edildikten sonra eksik olan sayıya eklenir.

popo 14
208012 sayısı 23'ü çıkarır mı?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
253 - tse 23'ü zaten hatırlayabilirsiniz,

Sahtelik belirtileri hakkında bir dizi makale devam ediyor 3'te özgünlük işareti. Bu tüzükte, başın arkasında 3'e bölünebilirlik işaretinin formülü verilir ve işaretin işaretinin uygulanması, z'yasuvann, verilen tamsayı sayılarından 3'e bölünmesi durumunda belirtilir ve yak - n. Dalі, 3'te yanlışlık kanıtına neden oldu. Ayrıca 3 numaraya fake atıp şarkının anlamını belirlemeye gelince bakıldı.

Yan tarafta navigasyon.

3 için bölünebilirlik işareti, popo

pochnemo s 3'te özgünlük belirtileri formüle etme: tam sayı 3'e tam bölünür, eğer rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa, verilen bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa o sayının kendisi 3'e tam bölünemez.

Uyarılmış formülden, 3'e bölünebilirlik işareti, aklınız kazanmadan kıvranmanıza izin vermiyor gibi görünüyor. Ayrıca, başarılı stosuvannya için, 3'e göre sahtelik belirtilerinin 3, 6 ve 9 sayılarının 3'e bölündüğünü ve 1, 2, 4, 5, 7 ve 8 sayılarının 3'e bölünmemesi gerektiğini bilmesi gerekir.

Şimdi en basitine bakabilirsin sahtelik belirtilerini 3'e koy. Chi'nin 3. sayı −42'ye bölündüğü açıktır. −42 sayısının rakamları toplamı hesaplanan toplam sayı 4+2=6'dır. Oskіlki 6 3'e bölünebilir, daha sonra −42 sayısı 3'e bölünebileceği gibi 3'e bölünebilirlik işaretleri sertleştirilebilir. İlk etapta 71 pozitif sayısı 3'e bölünemez ama rakamları toplamı 7+1=8'e eşittir ve 8 3'e bölünemez.

Ve chi 3 sayısı 0'a bölünür mü? 3 ile bölünebilme işaretine ihtiyacınız yoksa, o zaman bir katı gibi, bölünebilme gücünü tahmin etmeniz gerekir, bu sıfır tam sayıya bölünür. Bu sırada 0, 3'e bölünür.

Bazı yönlerden, verilen sayının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini göstermeniz gerekir; Bir örnek verelim.

popo

907444812 sayısının 3 ile tam bölünebildiğini gösteriniz.

Çözüm.

907 444 812 sayısının rakamları toplamı eski 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39'dur. Schob z'yasuvati, chi 39'a 3'e bölünür, rakamların toplamını hesaplıyoruz: 3 + 9 = 12. Ve chi'nin 12'ye 3'e bölündüğünü bulmak için, 12 sayısının rakamlarının toplamını biliyoruz, belki 1 + 2 = 3. Oskіlki mi 3 sayısını aldı, eğer 3'e bölünebiliyorsa, o zaman 3'e bölünebilirlik işaretleri 12'ye bölünebilir, 3'e bölünebilir. Ayrıca 39'un 3'e bölünmesi, rakamların toplamı 12'nin ve 12'nin 3'e bölünmesidir. Nareshti, 907333812, 3'e bölünür, yani rakamların toplamı 39 ve 39'un 3'e bölünmesidir.

Malzemeyi sabitlemek için bir popo daha çözümünü seçeceğiz.

popo

Q, 3. sayı -543 205'e bölünür mü?

Çözüm.

Sayının basamaklarının toplamını hesaplayın: 5+4+3+2+0+5=19 . Kendi doğrum var 19 sayısının rakamları toplamı 1+9=10 ve 10 sayısının rakamları toplamı 1+0=1 dir. Oskіlki mi, 3'e bölünebilen 1 sayısını çıkardı, ancak daha sonra 3'e bölünebilirlik işaretleri, çünkü 10, 3'e bölünemez. Cilt 19, 3'e bölünmez, sayıların toplamı 10'a eşittir ve 10, 3'e bölünmez. Ayrıca, -543 205 sayısı 3'e bölünemez, ancak 19'a daha çok benzeyen rakamların toplamı 3'e bölünemez.

Öneri:

Ni.

Varto, sayının kesintisiz olarak 3'e bölünmesinin, aynı sayının 3, chi'ye bölünebildiği sayılar hakkında bilgi toplamanıza izin verdiğine saygı duyar. Tsim mi, alt bölme işaretlerini 3'e bölmenin gerekli olmadığını söylemek istiyor. Kalan popoda, 543 205'te 3, değiştik, yani 543 205 3'e bölünmüyor, yıldızlar -543 205'in 3'e bölünmediği söylenebilir.

3 için orijinallik kanıtı kanıtı

A sayısının gelişine yardımcı olması için bölünebilirlik işaretini 3'e getirin. Eğer bir a doğal sayısıysa, yapabiliriz, eğer bize de a n, a n-1, ..., a 0, a sayısını yazmanın sağında duran sayılardır. Açıklık olsun diye böyle bir düşünceye bir örnek çizelim: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Şimdi bariz eşitlikleri tamamlayacak bir dizi yazalım: 10 = 9 +1 = 3 3 +1, 100 = 99 +1 = 33 3 +1, 1000 = 999 +1 = 333 3 +1 vb.

Kıskançlık yerine a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 yerine 10, 100, 1000 ve benzeri 3 3 +1, 33 3 +1, 999 +1 = 333 3 +1 vb.
.

Otriman'ın aşağıdaki gibi yeniden yazmasına izin veriyorum:

viraz є a sayısının rakamları toplamı A harfinin stili ve netliği için önemli ölçüde її, o zaman kabul edilebilir. Sonra, bir tür sayının görünüşünü alırız ve orijinallik işaretinin kanıtını 3 ile hızlandırırız.

Ayrıca, 3 için sahtelik belirtilerini kanıtlamak için, böyle bir sahtelik gücüne ihtiyacımız var:

böylece a sayısının b sayısına bölünmesi gerekli ve yeterlidir, böylece b sayısının modülüne bölünür;
a=s+t biri hariç tüm üyeler aynı b sayısına bölünse de, bu bir üye b'ye bölünür.

Artık hazırlanmaya hazırız ve yapabiliriz 3 için orijinallik kanıtı, işaretin netliği için, bölünebilirliği 3'e indirgemek için gerekli ve yeterli olarak formüle ediyoruz.

Teorem.

a tam sayısının 3'e tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'e tam bölünebilmesi yeterlidir.

getiriyor.

İçin a=0 teorem açıktır.

Yakscho a sıfır olarak tanımlanır, o zaman a sayısının modülü doğal bir sayıdır, aksi halde gösterilebilir, de - a'nın rakamlarının toplamı.

Oskіlki toplamı, sayıların tek sayı olduğunu, o zaman - bu sayının, 0, 1, …, n olup olmadığı için 3'e tekabül eder.

a sayısının rakamları toplamı 3'e bölünürse, A 3'e bölünürse, o zaman, teoremden önce gösterilen bölünebilirlik kuvveti nedeniyle, 3'e bölünür, sonra a, 3'e bölünür. . Yeterlilik böyle sağlanır.

Yakscho a 3 ile bölünebilir, te i 3 ile bölünebilir, o zaman bölünebilme kuvveti 3 ile bölünebilir, yani a sayısının rakamları toplamı 3 ile bölünebilir. Böylece ihtiyaç getirildi.

Daha fazla bilgi için 3

Bazen aşikar olanın üzerinden sayılar verilir, çünkü anlamı ile aynı anlamın değişmesidir. Örneğin, ondalık bir doğal sayıya sahip bir virazın anlamı doğal bir sayıdır. 3'e bölünebilirliklerini ayarlamak için böyle bir sayı kümesiyle, 3'e kesintisiz bir alt bölme eklemenin mümkün olmadığını ve 3'e bölünebilme işaretinin takılmaktan uzak olduğunu fark ettim. Bir kerede bu tür siparişlerin tamamlanmasına yönelik birkaç adıma bakacağız.

Bu yaklaşımların özü, bir dizi çarpanın yaratılışını görme konusunda verilen erdemli vizyonla alay etmektir ve çarpanlardan biri 3'e bölünebilse bile, bölünebilme gücü sayesinde, kişi hakkında visnovoks yaratılabilir. 3 ile yaratılış çeşitliliği.

Böyle bir pidkhid uygulamasına izin verilir. Çözüme bir göz atalım.

popo

Herhangi bir doğal n için değer 3'e kadar uzar mı?

Çözüm.

Açık kıskançlık. Newton'un binom formülü ile hızlandırılmış:

Virajın geri kalanında, alındığı 3 kemeri suçlayabiliriz. twіr'nin çıkarılması 3'e bölünür, kırıklar 3 çarpanına eşittir ve doğal n ile kemerlerdeki kenarın değeri doğal bir sayıdır. Yine, herhangi bir doğal n için 3'e bölünebilir.

Öneri:

Yani.

Zengin vipadkah'da alt bölümü 3'e getirebilirsiniz. Hadi yoga zastosuvannya'ya bir saat sonra popoya bir göz atalım.

popo

Herhangi bir doğal n değerinin 3'e bölünebileceğini gösterin.

Çözüm.

Onay için matematiksel tümevarım yöntemini kullanmak gerekir.

saat n=1 değeri doğru kabul edilir ve 6 değeri 3'e bölünür.

n=k için değerin 3'e bölünebildiğini varsayalım, o zaman 3'e bölünebilir.

Şaşırtıcı bir şekilde, 3'e bölünebilen şey, n=k+1'deki viraz değerinin 3'e bölünebildiği kanıtlanabilir, o halde, kanıtlanabilir bir şekilde, 3 ile bölünebilir

Bir dönüşüm yapalım:

Viraz 3 ta viraz'a bölünmüştür 3'e bölünebilir, o zaman toplam 3'e bölünebilir.

Böylece, matematiksel tümevarım yöntemiyle, herhangi bir doğal n için alt bölüm 3'e getirildi.

Yanlışlığı 3 ile ispatlamadan önce bir pidkhid daha gösterelim. s n=3 m, n=3 m+1 і n=3 m+2 olduğu nasıl gösterilir, burada m bir sayıdan fazladır, ondalık noktanın değeri (n değişiminin) 3'e bölünür, herhangi bir sayı n için 3 ile işaret etme ikilemi. Ön kıçın kirazının bir saatinde bu pidkhіd'a bakalım.

bu şekilde, 3 ile bölünebilen herhangi bir doğal n için.

Öneri:

Yani.

Edebiyat listesi.

Vilenkin N.Ya. Matematikte öyle. 6. Sınıf: zagalnosvitnіh zakladіh için asistan.
Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
Mikhelovich Sh.Kh. Sayılar teorisi.
Kulikov L.Ya. ki. Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: Fizik ve matematik öğrencileri için bir rehber. pedagojik enstitülerin uzmanlıkları

Tsya statya, 6'da otantikliğin şehvetli işaretlerini ortaya koyuyor. Bude zaprovadzheno yogo formülleriyuvannya z izmaritleri çözümü. Aşağıda, deyaky ifadelerinin 6 poposundaki sahtelik belirtilerini kanıtlayacağız.

6 için bölünebilirlik işareti, popo

6 ile bölünebilme işaretlerinin formülü, 2 ve 3 ile bölünebilme işaretini içerir, bu nedenle sayı 0, 2, 4, 6, 8 sayılarıyla biter ve rakamların toplamı fazla olmadan 3'e bölünür, yani böyle bir sayının 6'ya bölünmesi; gündüz için, 6 ile verilen sayıyı bilmek istiyorsanız, paylaşmayın. Aksi takdirde, görünüşe göre, 2 ve 3'e bölünürse sayı 6'ya bölünecektir.

2 aşamada 6 adım için Zastosuvannya özgünlük işaretleri:

2 ile bölünebilirliğin yeniden doğrulanması, böylece sayı 2'ye açık bölünebilirlik için 2 ile bitebilir, örneğin 0, 2, 4, 6, 8 sayılarının varlığı için sayı 6 imkansızlığına gitti;
3'e bölünebilirliğin yeniden doğrulanması, ayrıca, sayının basamaklarının toplamının fazladan 3'e bölünmesinden sonra yeniden doğrulama gerçekleştirilir, bu, tam sayının 3'e bölünebilme olasılığı anlamına gelir; Önceki noktadan, sayının 6'ya bölündüğü, kırıkların sayıldığı ve 3 ve 2'ye bölündüğü açıktır.

popo 1

Tersine, 8813 sayısı 6'ya nasıl bölünebilir?

Çözüm

Sayının son rakamına kadar saygı duymanız gerektiği aşikar. Yani 3'ün 2'ye bölünmediği gibi, ses çığlık atıyor, tek akıl atmıyor. Verilen sayının 6'ya bölünemeyeceğini ortaya çıkarın.

Öneri: hayır.

popo 2

934 sayısını çok fazla harcamadan 6'ya nasıl bölebileceğinizi öğrenin.

Çözüm

Öneri: hayır.

popo 3

6. gün için orijinalliğini kontrol edin - 7 269 708.

Çözüm

Sayının kalan basamağına geçiyoruz. Oskіlki її znachennya dorovnyuє 8, daha sonra ilk akıl eklenebilir, bu nedenle 8, 2'ye bölünür. Başka bir zihnin zihnini yeniden kontrol etmeye geçelim. Hangi depo için verilen bir sayının rakamlarını 7+2+6+9+7+0+8=39 ekliyoruz. 39'un fazlalık olmadan 3'e bölündüğü görülmektedir. Tobto kabul edilebilir (39: 3 = 13). Hakaretlerin kazanılacağı aşikardır, yani verilen sayı fazladan 6'ya bölünecektir.

Öneri: evet paylaş.

İkilemi 6 ile tersine çevirmek için aracı rozpodil olmadan vikonatiyi yeniden doğrulama olmadan 6 numaraya, ikilemin işareti yenisine yapabilirsiniz.

6 için orijinallik kanıtı kanıtı

Gerekli ve yeterli zihinlerin 6'sında sahtelik belirtilerinin kanıtlarına bakalım.

teorem 1

a sayısının 6'ya tam bölünebilmesi için 2'ye ve 3'e tam bölünebilmesi için gerekli ve yeterlidir.

Kanıt 1

A sayısının 6'ya tam bölünebilmesinin 2 ve 3'e bölünmesini değiştireceği için başın arkasını getirmek gerekir. Bölünebilme gücünün seçimi: eğer tam sayı b'ye bölünürse, o zaman bir tam sayı olan m'den m a'nın eklenmesi de b'ye bölünür.

a'yı 6'ya bölerek, ilk büyük sayı a = 6 · q, de q є gibi sükunet göstermek için bölünebilme gücünü kazanabileceğiniz açıktır. Öyle bir kayıt oluşturun ki, çarpanın varlığı 2 ve 3'e bölüneceğinin garantisini verir. Gereklilik getirildi.

6 adımda bölünebilirliği tekrar ispatlamak için yeterliliği getirin. Sayının 2'ye ve 3'e tam bölünebildiğini getirmek isteyenler için 6'ya tam bölünür.

Aritmetiğin ana teoreminin gerekli detaylandırılması. Yalnızca bir çarpan p'ye bölünecekse, bir p asal sayısına bölünebilen 1 çoğul olmayan kadar çok pozitif elde etmek mümkündür.

a = 2 · q ise, a tam sayısının 2'ye veya q sayısına bölünmesi mümkündür. Ce viraz 3'e bölünür, de 2 · q 3'e bölünür. Açıkçası, 2'ye 3 bölünemez. Teoremden, q'nun 3'e bölünebileceği sonucu çıkar. q 1 de q \u003d 3 · q 1 sayısının tam sayı olması önemlidir. Yine, a = 2 q = 2 3 q 1 = 6 q 1 formunun düzensizliği a sayısının 6'ya tam bölünebildiğini söyleyin. Yeterlilik getirildi.

6'dan sonra geldi

Bu noktada 6 değişiklik için yöntem ve yanlışlık kanıtları dikkate alınmaktadır. Yani başka bir çözüm yöntemi aktarmanın zamanı geldi. Kesin olabilir: Yaratılıştaki birçok çarpandan biri belirli bir sayıya bölünürse, tüm tvir aynı sayıya bölünür. Aksi takdirde verilen ifadeye göre çarpanlardan birinin 6'ya bölünmesini isterseniz her şey 6'ya tam bölünecektir.

Newton'un binom formülünün ilave ikamesi için bu yolu takip etmek daha kolaydır.

popo 4

Önemli bir şekilde, chi viraz 7 n - 12 n + 11, 6'ya bölünebilir.

Çözüm

7 sayısını yak sumi 6+1 düşünelim. 7 n - 12 n + 11 \u003d (6 + 1) n - 12 n + 11 formunu yazmamız gerekiyor. Newton'un binom formülünü çözelim. Yeniden yapabilir miyim, sho

7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 = = (C n 0 6 n + Cn 1 6 n - 1 + . . . + + Cn n - 2 6 2 1 n - 2 + C n n - 1 6 1 n - 1 + Cn n 1 n) - 12 n + 11 = = (6 n + Cn 1 6 n - 1 + . . . + Cn n - 2 6 2 + n 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6 n + Cn 1 6 n - 1 +. . . + C n n - 2 6 2 - 6 n + 12 = = 6 (6 n - 1 + Cn 1 6 n - 2 + . . . + C n n - 2 6 1 - n + 2)

Çıkarılan tvir 6'ya bölünür, çünkü çarpanlardan biri 6'ya eşittir. Zvіdsi vyplivaє, scho tam bir doğal sayı olabilir, ayrıca görevler 6'ya bölünebilir.

Öneri: böyle.

Kendinize bir polinom yardımıyla sorarsanız, sonraki adım dönüşümdür. Bachimo, zengin bir üyenin çarpanlara ayrılmasına ulaşmak için gerekli. Gelecekte n'yi değiştirmem önemli, n = 6 m, n = 6 m + 1, n = 6 m + 2, …, n = 6 m + 5 gibi yazacağım, m sayısı cylim'dir. Skin n matima sens durumunda bir ikilem olarak, verilen bir sayının 6 ile ikilemi n tamsayısının herhangi bir değerine getirilecektir.

popo 5

Getir, scho be-nedir, n viraz n 3 + 5 n tamsayının değeri 6'ya bölünür.

Çözüm

Koçanı için, viraz i görevlerinin çarpanlarına yayılmak mümkündür, n 3 + 5 n \u003d n · (n 2 + 5) olması mümkündür. n = 6 m ise, n (n 2 + 5) = 6 m (36 m 2 + 5) . 6 sayısının çarpanının varlığının, herhangi bir m tamsayı değeri olup olmadığına bakılmaksızın 6'ya bölünebileceğini ispatladığı açıktır.

n = 6 m + 1 gibi, yapabiliriz

n (n 2 + 5) = (6 m + 1) 6 m + 1 2 + 5 = = (6 m + 1) (36 m 2 + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) 6 (6 m 2 + 2 m + 1)

Twir 6'ya bölünecek, bunun için bir çarpan var, bunun için 6 var.

n = 6 m + 2 ise, o zaman

n (n 2 + 5) = (6 m + 2) 6 m + 2 2 + 5 = = 2 (3 m + 1) (36 m 2 + 24 m + 4 + 5) = = 2 (3 m + 1 ) 3 (12 m 2 + 8 m + 3) = = 6 (3 m + 1) (12 m 2 + 8 m + 3)

Viraz 6'ya bölünebilir, kayıt kırıkları 6'nın çarpanı olabilir.

Aynı sırayla, n \u003d 6 m + 3, n \u003d 6 m + 4 ve n \u003d 6 m +5 için sayılır. n değeri ne olursa olsun, görevlerin 6'ya bölüneceği açıktır.

Şimdi çözümün ek matematiksel tümevarım yöntemine uygulanmasına bir göz atalım. İlk popo zihinleri için Bude zrobleno çözümü.

popo 6

Getirmek için, zihin 7 n - 12 n + 11, 6 de priyme be-yakі tsіli znachenya virazu'ya bölünecektir.

Çözüm

Danimarka poposu matematiksel tümevarım yöntemiyle yapılır. Algoritma vikonaemo suvoro pokrokovo.

Virüsün kimliğini n = 1'de 6 ile yeniden kontrol edelim. O zaman aklımıza 7 1 - 12 · 1 + 11 = 6'yı alıyoruz.

Dış ifade için n = k alalım. 6'ya bölünemeyecekse, 7k - 12k + 11'in 6'ya bölünebileceğini düşünebilirsiniz.

n = k + 1 için 7 n - 12 n + 11 biçiminde 6'ya bölünmenin ispatına geçelim. 7 k + 1 - 12 (k + 1) + 11'den 6'ya alt bölümü getirmek, ayrıca 7 k - 12 k + 11'in 6'ya bölünmesini düzeltmek önemlidir.

7k + 1 - 12 (k + 1) + 11 = 7 7k - 12k - 1 = = 7 (7k - 12k + 11) + 72k - 78 = = 7 (7k - 12k + 11) + 6 (12k - 13)

Açıkçası, ilk toplama 6'ya bölünebilirse, 7 k - 12 k + 11, 6'ya bölünebilir olacaktır. Başka bir toplama da 6'ya bölünür, çünkü çarpanlardan biri 6'ya eşittir. Zvіdsi robimo visnovok, bitirmek için tüm zihni scho ve bu, tüm toplamın 6'ya bölündüğü anlamına gelir.

7 n - 12 n + 11 biçimindeki görevleri getirmek için matematiksel tümevarım yöntemi, n bir doğal sayının değerini alırsa 6'ya bölünebilir.

Metindeki affı nasıl hatırladın, kibar ol, gör ve Ctrl + Enter tuşlarına bas

Etkarova Alina

6. sınıf için son başlangıç projesi

Avantaj:

Önden görünüş:

Bilim adamlarının bölgesel bilimsel konferansı

"Matematik" bölümü

"Doğal sayıların gerçekliğinin işaretleri"

Etkarova Alina,

6. sınıf öğrencisi

DBOU ZOSH tren istasyonu Navantagewalna

Bilimsel küratör:

Stepanova Galina Oleksiivna

matematik öğretmeni

DBOU ZOSH tren istasyonu Navantagewalna

S. Kişki

Giriş……………………………………………………………………...3

1. Bölüm 1. Tarihin Troçları ……………………………………………….4 -5

2. Bölme 2. Özgünlük belirtileri

5 - 6

2.2. Doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ile bölünebilme işaretleri, birbirinden bağımsız çıkarma……………………………………………………..6-7

2.3. 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37'de farklı gerellerde açıklanan loşluk belirtileri ................................ ..................................................................... ....................................................8-11

3. Bölüm 3 ................................................................ ...................................11-14

Visnovok. ………………………………………………………..onbeş

Yazılı literatür listesi……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

giriş

alaka düzeyi: “Doğal sayıların 2, 3, 5, 9, 10 ile bölünebilme işaretleri” konularının öğrenildiği saatin altında, sayıların bölünebilirliğinin beslenmesi azalmıştır. Görünüşe göre, birden fazla doğal sayı, başka bir doğal sayıya fazlalık olmadan bölünebilir. Doğal sayıları böldüğümüzde, fazlalık alırız, aflara izin veririz, sonuç olarak - bir saat harcarız. Bölünebilirlik işaretleri, bir doğal sayıyı daha ayarlamaya yardımcı olur. Bir sonraki çalışmayı bu konularla yazmak zorunda kaldım.

Hipotez: Doğal sayıların ikilemini 2, 3, 5, 9, 10'a atamak mümkünse, o zaman doğal sayılar ve diğer sayıların ikilemini atamanın mümkün olduğu işaretler ödenir.

Takip nesnesi:Podіnіst doğal sayılar.

Soruşturma konusu:Doğal sayıların gerçekliğinin işaretleri.

Hedef: Doğal sayıların ulusal olarak bölünebilirliğinin işaretlerini zaten ekleyin, sanki ben kötüyüm.

Müdür:

Beslenme tarihçiliğine bakın.
Okulda yaramazmışım gibi, sahtelik belirtilerini 2, 3, 5, 9, 10'da tekrarlayın.
4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ile doğal sayıların geçerlilik işaretlerini bağımsız olarak sürdürün.
Doğal sayıların diğer bölünebilirlik işaretlerinin kullanımı ve ortaya çıkan bölünebilirlik işaretlerinin doğruluğu hakkındaki hipotezin doğruluğunu onaylayan ek literatüre bakın.
7, 11, 12, 13, 14, 19, 37'deki doğal sayıların sahteliğinin işaretlerini ek literatürden yazın.
Zrobiti visnovok.
Konuyla ilgili bir slayt sunumu yapın: Bölünebilirlik işaretleri.
"Doğal sayıların sahteliğinin belirtileri" broşürünü katlayın.

Yenilik:

Proje süresince doğal sayıların bölünebilirliğinin işaretleri hakkında bilgi sahibi oldum.

takip yöntemleri:Malzeme seçimi, verilerin işlenmesi, dikkat, hizalama, analiz, toplama.

Bölüm 1. Tarih açısından zengin değil.

Bölünebilirlik işareti, alt bölmeyi çıkarmadan, bir doğal sayının başka türlü bölünebileceğini belirtmek için kullanılabilen kuraldır. Bölünebilirlik işaretleri dünyanın farklı bölgelerinde ve saatlerinde her zaman işliyor.

2, 3, 5, 9, 10'daki orijinallik işaretleri eski modaydı. 2'ye bölünebilirlik işareti, çağımızdan 2 bin yıl önce eski Mısırlılar tarafından biliniyordu ve 2, 3, 5 için bölünebilirlik işaretleri İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (1170-1228) tarafından tanıtıldı.

“Bu kadar depo numaraları” konularının tanıtılmasıyla birlikte, asal sayı tablolarının katlanması ile ilgili beslenme daha az önemli hale geldi, böylece asal sayılar tüm sayıların hesaplanmasında önemli bir rol oynuyor. MÖ 3. yüzyılda yaşayan Eratosthenes'in Oleksandrian doktrini de bu dönemde ortaya çıkmıştır. Yogo'nun bir asal sayılar listesini katlama yöntemine "Eratosthenes'in eleği" adı verildi. 100'e kadar olan tüm basit sayıları bana bildirin. 100'e kadar olan tüm sayıları yazalım.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

2 sayısını doldurduktan sonra, diğer tüm sayı çiftlerini dolduracağız. 2'den sonra ilk kullanılan sayı 3 olacaktır. Şimdi 3'ü bitirdikten sonra 3'e bölünecek sayıları bloke edeceğiz. Ardından 5'e bölünecek sayıları ekleyeceğiz. Sonuç olarak tüm depo numaraları Pazar görünecek ve yalnızca basit sayılar kaybolacak: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Bu yöntem için , Asal sayıların listelerini ekleyebilirsiniz, Great 100.

Sayıların bölünebilirliğinin gücüne Pisagorcular tarafından bakıldı. Teorik olarak doğal sayıların tipolojisi üzerine büyük bir çalışma yaptılar. Pisagorcular bunları sınıfla paylaştılar. Sınıflar görüldü: mükemmel sayılar (kendi dilniklerinizin daha değerli toplamlarının sayısı, örneğin: 6=1+2+3), dost sayılar (örneğin, 220 ve 284: 284 gibi bazı daha değerli dilnik toplamlarının dış görünümü) =1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110;220=1+2+4+71+142), küme sayılar (üçlü sayı, kare sayı), asal sayılar ve .

Blaise Pascal Pisagor. Pizansky Eratosthenes'in Leonardo'su

(Fibonacci)

Bağdaki büyük tortu, Blaise Pascal'ın (1623-1662) ektiği sayıların bölünebilirliğinin bir işaretidir. Junius Blaise, daha önce okumayı, daha düşük okumayı öğrenen erken matematiksel zdibnosti gösterdi. Vzagali, yoga poposu - bu klasik vapadok çocuksu matematik dehası. 24 yıl içinde ilk matematiksel tezini "Son revizyonlar teorisinin kanıtı" yazdı. Yaklaşık olarak aynı saatte, bir toplama makinesinin prototipi olan mekanik bir toplama makinesi yaptı. Yaratıcı çalışmasının ilk döneminde (1640-1650), çeşitli bilim adamları, herhangi bir tam sayının başka herhangi bir sayıya bölünebilirliğinin işaretini bilmek için özel işaretlerin gıcırdaması gereken bir algoritma biliyorlardı. Yogo, hücumda polagє işareti yapar: Doğal sayı a başka bir doğal sayıya bölmek b onun için daha azdır, sayının rakamlarının yaratılış toplamı gibi a vodpovidnі fazlalıklarında, sayı başına rozpodіlі razryadnyh odiny olduğunda kazandı b, dіlitsya inci numarası.

Dahil olmak üzere, sahtelik belirtileri eski zamanların eski ve matematikçilerinden geldi.

Bölüm 2

2.1 Okul çocukları tarafından kullanılan doğal sayıların bölünebilirliğinin işaretleri.

Adanmış değerler ile dilnik, çoklu, basit ve depo sayılarının anlaşılmasını bilmeleri gerekmektedir.

dilnik doğal miktar a bir doğal sayı söyle b, yak a aşırıya kaçmadan paylaşın.

Genellikle bir sayının geçerliliği hakkında iddialar a b sayısı diğer eşdeğer kelimelerle ifade edilir: a b'nin katıdır, b dilnik a'dır, b a'ya tam bölünür.

Affedersiniz, doğal sayılara iki dilnik varmış gibi denir: 1 ve sayının kendisi. Örneğin, 5,7,19 sayıları basittir, çünkü 1'e ve kendisine bölünür.

İki dilnik üzerinde gibi görünen sayılara stok numaraları denir. Örneğin, 14 Mayıs 4 dilnik sayısı: 1, 2, 7, 14, yani stokta yok.

Dahil.....

2.2 Doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ile bölünebilme işaretleri, bağımsız olarak çıkarma.

Bölme çizgisini izleyerek, doğal sayıları çarparak, diy'in sonuçlarını koruyarak yasaları biliyordum ve bu tür özgünlük belirtilerini ortadan kaldırdım.

4 için bölünebilirlik işareti.

25 4 = 100; 56 4 = 224; 123 4 = 492; 125 4 = 500; 2345 4 = 93 80; 2500 4 = 100 00;

Doğal sayıları 4 ile çarptığımda, sayının kalan iki basamağından yapılan sayıların fazlalıksız 4'e bölündüğünü hatırladım.

4'e bölünebilme işareti şu şekildedir: doğal yıl

6 için bölünebilirlik işareti.

Saygılarımızla, 6 = 2 3 6 kişilik kimlik işareti: Bir doğal sayı aynı anda hem 2'ye hem de 3'e bölünüyorsa 6'ya da bölünür.

Uygulamak:

216 2 ile bölünebilir (6 ile biter) ve 3 ile bölünebilir (8+1+6=15, 15?3) yani 6 ile bölünebilir.

8 için bölünebilirlik işareti.

Doğal bir sayıyı 8 ile çarparak, bu örüntüyü not ettim, sayılar üç 0 ile biter veya kalan üç rakam 8'e bölme gibi bir sayı olur.

Otzhe böyle imzalar. doğal yıl

15 için bölünebilirlik işareti.

Saygılarımızla, 15 = 3 5

Uygulamak:

Bölünebilirlik işareti 25'te.

Farklı doğal sayıları 25 ile çarparken şu kuralı uyguladım: 00, 25, 50, 75 ile sonlar oluşturun.

çok doğal sayı 25'e tam bölünür ve 00, 25, 50, 75 ile biter.

50'ye kadar üyelik imzası.

50'ye bölünen sayılar: 50, 1

demek, bir doğal sayı iki sıfır veya 50 ile bitiyorsa 50 ve daha fazlasına bölünür.

Örneğin bir doğal sayı, sütunlar ve sıfırlar varsa, sayılar tek bir birimdeyse, o zaman tam sayı tek bir birime bölünür.

Uygulamak:

25.600 bölü 100, çünkü sayılar aynı sayıda sıfırla biter. 8975000 bölü 1000 o zamandan beri rahatsız edici sayılar 000 ile bitecek.

Özellikle, sayılara bakarak ve düzenlilikleri not ederek, bölünebilirliğin işaretlerini formüle ettim ve ek literatürden, doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 100 ile bölünebilirliğinin işaretinin olduğunu biliyordum. tarafımdan doğru formüle edilmiştir.

2.3 Doğal sayıların 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ile bölünebilme işaretleri, farklı dzherel'lerde açıklanmıştır.

Dodatkovoї literatüründen, doğal sayıların 7'ye bölünebilirliğinin bir kіlka işareti biliniyordu.

P 7 için perakende satış:

Uygulamak:

479345 7 ile bölünemez çünkü 479-345 = 134, 134 7'ye tam bölünemez.

Uygulamak:

4592 bölü 7 çünkü 45 2 = 90, 90 +92 = 182, 182 bölü 7'dir.

57384 7'ye bölünür çünkü 573 2 = 1146, 1146 +84 = 1230.1230 7 ile bölünemez

aba

Uygulamak:

baa

Uygulamak:

aab

Uygulamak:

baa

Uygulamak:

10׃7=1 (zup 3)

100׃7=14 (zup 2)

1000׃7 = 142 (kalan 6)

10000׃7 = 1428 (zup 4)

100000׃7=14285 (dinlenme 5)

6+3 2+1 3 +6 = 21, 21/7

354722 sayısı 7'ye tam bölünemez çünkü 3 5 +5 4 +4 6 +7 2 +2 3 +2 = 81, 81 bölünmez 7 7; 6-dinlenme. 7; 3-dinlenme.

11 için alt bölüm işaretleri.

popo:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Uygulamak:

12 için bölünebilirlik işareti.

Uygulamak:

13 için alt bölüm işaretleri.

Uygulamak:

Bölünebilirlik işareti 14'te.

Uygulamak:

35882 sayısı 2 ve 7'ye bölünür ama aynı zamanda 14'e de bölünür.

Bölünebilirlik işareti 19'da.

Uygulamak:

153 4

182 4 182 +4 2 = 190, 190/19, daha sonra, sayı 1824/19.

37'de özgünlük belirtileri.

popo:

V.o., içinde Doğal sayıların bölünebilirliğinin aktarılan tüm işaretleri 4 gruba ayrılabilir:

1 grup - sayıların bölünebilirliği kalan (їm) basamağa (mi) atanırsa - bunlar 2'ye, 5'e, bir bit, 4'e, 8'e, 25'e, 50'ye bölünebilme işaretleridir;

Grup 2 - sayıların bölünebilirliği sayının basamaklarının toplamına atanmışsa - 3, 9, 7 (1 karakter), 11, 37 ile bölünebilme işaretleri;

3. grup - sayıların bölünebilirliği, sayının basamakları üzerinden vikonnannya yakyhos diy'den sonra belirtilirse - 7, 11, 13, 19'da özgünlük işaretleri;

Grup 4 - zastosovuyutsya sayısının bölünebilirliğinin belirlenmesi diğer bölünebilirlik işaretleri ise - aynı bölünebilme işaretleri 6, 12, 14, 15.

Bölüm 3

Orijinallik belirtileri zastosovuyutsya, GCD ve NOC bilindiğinde ve ayrıca GCD ve NOC statüsünde metin emirleri ihlal edildiğinde.

Görev 1:

5. sınıf öğrencileri 203 öğretmen tarafından satın alındı. Kozhen aynı sayıda kitap satın almış. Skіlki bulo p'yatiklasnikіv onlardan deri satın aldığım için skіlki pridruchnikіv?

Çözüm: Saldırgan değerler, ifade edilmesi gerektiği gibi, tobto tam sayılarda olabilir. 203 sayısında dilniklerin ortasını yeniden canlandırın. 203'ü çarpanlara genişleterek şunları alıyoruz: 203 \u003d 1 ∙ 7 ∙ 29.

3 pratik ayna.

Öneri:

Görev 2.

Çözüm:

Öneri:

Görev 3: 9. sınıfta, kontrol çalışması için 1/7 öğrenci beşli, 1/3 - dörtlü, 1/2 - üçlü aldı. Diğer robotların yetersiz olduğu ortaya çıktı. Bu robotlardan kaç tanesi?

Çözüm:

Okul müdürünün matematiksel bilgileri kabul edilir, 84,126. sınıftaki öğrenci sayısı çok azdır. adam. Ale z mirkuvan sağlıklı glüzdu vplivaє, scho en hoş vіdpoviddu є 42 numara.

Öneri: 1 robot.

Görev 4.

Çözüm: Bu sınıflardan ilki şunlar olabilir: 17, 34, 51 ... - 17'nin katı olan sayılar. Diğer sınıf için: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - 9'un katı olan sayılar .İlk diziden 1 sayı seçmemiz gerekiyor ve 2 diğerinin sayısı öyle ki koku toplamda 70 vermiş. Üstelik bu dizilerde üye sayısı az olduğundan çocuk sayısını gösterebilirler. sınıfta. Tse mirkuvannya, sıralama seçenekleriyle önemli ölçüde kesişiyor. Bir çift (34, 36) tek seçenek gibi görünüyordu.

Öneri:

Görev 5.

Çözüm:

Öneri:

Görev 6. Aynı bölgede farklı güzergâhlarda çalışan iki otobüs vardır. Otobüslerden birinde, ileri geri yolculuk üç kez 48 dakika ve sonraki 1 yıl içinde 12 dakikadır. Biraz sonra aynı meydanda otobüsler yeniden başlayacak mı?

Çözüm:

Öneri:

Görev 7. Verilen tablo:

Öneri:

Yönetici 8.

Öneri:

Yönetici 9.

Öneri:

Otzhe, kiraz gününün saatinde doğal sayıların sahteliğinin işaretiyle kafamız karıştı.

Visnovok.

Çalışma sürecinde, bir özgünlük işaretinin gelişim tarihini öğrendim. Ek literatürden bildiği 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 için doğal sayıların sahteliğinin işaretlerini kendisi doğru bir şekilde formüle etti. Farklı dzherelami ile Pratsiyuchi, doğal sayıların alt bölümlerinin (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37'ye göre), schohipotezin doğruluğunu onayladıdoğal sayıların gerçekliğinin diğer işaretlerinin temeli hakkında.

Tamamlayıcı literatürden, tamamlandığı saatte, doğal sayıların gerçekliğinin işaretlerinin kurulduğu biliniyordu.

Vikoristannya'nın geri ödenenden daha fazlasının doğal sayıların sahteliğinin bir işareti olduğunu bilmek, hesaplamayı önemli ölçüde basitleştirecek, bir saat kazandıracak; vikonanny de rozpodila saatine kadar çalışabilmeniz için afların sayımı da dahil. Bir sonraki adım, amellerin formülasyonunun bir katlanma işareti olduğunu belirtmektir. Muhtemelen, bu koku okulda yükselmiyor.

Seçtiğim materyali matematik derslerinde, matematik grup derslerinde kazanabileceğiniz şekilde broşür olarak tasarladım. Matematik öğretmenleri herhangi bir sayıda konuyu test edebilir. Ayrıca, matematik hakkında sıradan bir okul çocuğundan daha az şey öğrenmek istiyorsanız, aynı yaştakilere işinizi tanımanızı tavsiye ederim.

Nadalі aşağıdaki yiyeceğe bakabilirsiniz:

Vizyon, özgünlüğün bir işaretidir;

Z'yasuvati, bu tür evliliklerin devamı için sahtelik belirtileri nelerdir, hala biliyorum?

Muzaffer edebiyatın listesi (dzherel):

Galkin V.A. “Bölünebilirlik İşaretleri” konulu görev.// Matematik, 1999. - No. 5.-S.9.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental O.L. 6-8. sınıflarda matematikte yüksek lisans çalışması. - M.: Prosvitnitstvo, 1984.
Kaplun L.M. Başlarda GCD ve NOC. // Matematik, 1999. - No. 7. - S. 4-6.
Pelman Ya.I. Matematik - tse tsikavo! - E.: TERRA - Kitap kulübü, 2006.
Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü. / Sipariş. Savin A.P. - E.: Pedagogika, 1989. - S. 352.
internet

özgünlük belirtileri

5'te.

Bu sayı 0,5 ile biter.

Sayı 0, 2, 4, 6, 8 ile nasıl bitiyor?

10'da.

Sayı nasıl 0 ile biter

3 (9) ile.

Bir sayının kaç basamağı 3'e (9) bölünür.

Önden görünüş:

Öneri:

Yönetici 8.

Dokuz basamaklı, hiç basamağı olmayan, tekrar eden (bütün basamaklar farklıdır) ve fazladan 11'e bölünmeyi seven bir sayı yazın. Bu sayılardan çoğunu, en küçüğünü yazın.

Öneri: En büyüğü 987652413, en küçüğü 102347586'dır.

Yönetici 9.

Ivan, üç basamaklı basit bir sayı düşünürken, tüm sayılar farklı türdendir. Aynı şekilde bitebilir, böylece kalan rakam ilk ikisinin toplamına eşittir. Bu tür sayılara örnekler veriniz.

Öneri: 7 numarayı bitirebilirsin. Bu tür 4 numara var: 167, 257, 347, 527.

2 için bölünebilirlik işareti

Bir doğal sayı 2, 4, 6, 8, 0 ile bitmesine rağmen 2'ye çok fazla bölünmeden bölünebilir.

5 ile bölünebilme işareti.

Sayı 0 veya 5 ile bitiyorsa çok fazla olmadan 5'e bölünebilir.

3 için özgünlük işareti

Bir sayının rakamları toplamı 3'e tam bölünüyorsa o sayı 3'e tam bölünür.

Uygulamak

684: 3, çünkü K. 6 + 8 + 4 = 18, 18: 3, yani i sayısı: 3 ile.

763 nemaє: na3, çünkü. 7 +6 +3 \u003d 16, 16 aptal: 3'e kadar, yani 763 aptal: 3'e.

9 için kimlik işareti

Bir sayının rakamları toplamı 9'a tam bölünüyorsa o sayı 9'a tam bölünür.

Uygulamak

765:9, çünkü 7+6+5=18, 18:9, yani 765:9

881 değil: 9'a kadar, çünkü 8 + 8 + 1 \u003d 17, 17 mümkün değil: 9'a kadar, yani 881 mümkün değil: 9'a kadar.

4 için bölünebilirlik işareti.

25 4 = 100; 56 4 = 224; 123 4 = 492; 125 4 = 500; 2345 4 = 93 80; 2500 4 = 100 00; …

doğal yıl Kalan iki basamak 0 ise veya sayı 4'e tam bölünüyorsa sayı 4 ile tam bölünür.

6 için bölünebilirlik işareti.

Saygılarımızla, 6 = 2 3 6 kişilik kimlik işareti:

Bir doğal sayı aynı anda hem 2'ye hem de 3'e tam bölünürken 6'ya da tam bölünür.

Uygulamak:

816, 2'ye bölünür (6 ile biter) ve 3'e bölünür (8+1+6=15, 15?3), yani sayı 6'ya bölünür.

625 2'ye tam bölünemez, 3'e bölünemez ve 6'ya tam bölünemez.

2120, 2 ile bölünebilir (0 ile biter), ancak 3 ile bölünemez (2+1+2+0=5, 5, 3 ile bölünemez), aynı sayı 6 ile bölünemez.

279, 3 ile bölünebilir (2+7+9=18, 18:3), ancak 2 ile bölünemez (eşlenmemiş bir rakamla biter), yani sayı 6 ile bölünemez.

7 için bölünebilirlik işareti.

Ι. Bir doğal sayı, bin sayısı ile kalan üç basamağın ifade ettiği sayı arasındaki fark 7'ye bölünebiliyorsa, bir doğal sayı birden fazla veya az 7 ile tam bölünür.

Uygulamak:

478009 bölü 7 çünkü 478-9 = 469, 469 bölü 7.

475341 7 ile bölünemez çünkü 475-341 = 134, 134 7'ye tam bölünemez.

ΙΙ. Doğal bir sayı 7'ye bölünebilir, tıpkı bir alt-çift sayının toplamı gibi, maliyeti onlarcadır ve bölünebilen sayıyı 7'ye böler.

Uygulamak:

4592 bölü 7 çünkü 45 2 = 90, 90 +92 = 182, 182/7.

xv ve sonraki 1 yıl içinde 12 xv. Biraz sonra aynı meydanda otobüsler yeniden başlayacak mı?

Çözüm: LCM(48, 72) = 144 (xv). 144 hv \u003d 2 yıl 24 hv.

Öneri: 2 yıl sonra 24 dk. otobüsler yine aynı kareye çarpacak.

Görev 7. Verilen tablo:

Boş hücreler için aşağıdaki sayıları yazın: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Çözüm: Bu sınıflardan ilki şunlar olabilir: 17, 34, 51 ... - 17'nin katı olan sayılar. Diğer sınıf için: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - 9'un katı olan sayılar .İlk diziden 1 sayı seçmemiz gerekiyor ve 2. sayı farklı yani koku toplamda 70 verdi. Üstelik bu dizilerde sadece az sayıda üye sınıftaki çocuk sayısını gösterebiliyor. Tse mirkuvannya, sıralama seçenekleriyle önemli ölçüde kesişiyor. Bir çift (34, 36) tek seçenek gibi görünüyordu.

Öneri: Birinci sınıfta 34, diğer sınıfta 36 öğrenci bulunmaktadır.

Görev 5.

Aynı hediyelerden bir avuç nasıl bulabilirim, onları 320 dağ, 240 zücerok, 200 elmadan yapabilir miyim? Skilki gorіhіv, tsukerok ve elmalar cilt hediyesinde olacak mı?

Çözüm: GCD(320, 240, 200) = 40 (hediyeler), o zaman cilt hediyesinde şunlar olacaktır: 320:40 = 8 (ufuk); 240: 40 = 6 (zukerok); 200:40 = 5 (elma).

Öneri: Cilt hediyesinde 8 gorіhіv, 6 tsukerok, 5 elma var.

Görev 6.

Aynı bölgede farklı güzergâhlarda çalışan iki otobüs vardır. Otobüslerden birinde dönüş yolculuğu üç kez 48

57384 7'ye bölünür çünkü 573 2 = 1146, 1146 +84 = 1230, 1230 7 ile bölünemez.

ΙΙΙ. üç basamaklı doğal sayı aba 7 ile bölünebilir, yani a+b 7 ile bölünebilir.

Uygulamak:

252 bölü 7 çünkü 2 +5 = 7, 7/7.

636, 7'ye bölünür, çünkü 6 +3 = 9, 9, 7'ye tam bölünemez.

IV. üç basamaklı doğal sayı baa 7 ile bölünebilir, bir sayının rakamları toplamı 7 ile bölünebilir.

Uygulamak:

455 bölü 7 çünkü 4 +5 +5 = 14, 14/7.

244, 7'ye bölünür, çünkü 2 +4 +4 = 12, 12, 7'ye tam bölünemez.

V. Üç değerli doğal sayı aab 7 ile bölünebilir, yani 2a-b 7 ile bölünebilir.

Uygulamak:

882 7'ye bölünür çünkü 8 + 8-2 = 14, 14/7.

996 7'ye bölünür çünkü 9 + 9-6 = 12, 12, 7'ye tam bölünemez.

VI. Chotir şeklinde bir doğal sayıdır baa , yani bir b-çift sayısı 7'ye bölünebilir, dolayısıyla b + 2a 7'ye bölünebilir.

Uygulamak:

2744 bölü 7 çünkü 27 +4 +4 = 35, 35/7.

1955 yılı 7'ye bölünmez, çünkü 19 +5 +5 = 29, 29 7'ye tam bölünemez.

VII. Bir doğal sayı, 7 ile bölünebilir ve yalnızca bir kez, inci sayının kalan basamağını, kalan basamağı olmadan almanın sonucu 7 ile bölünebiliyorsa.

Uygulamak:

483 bölü 7 çünkü 48-3 2 = 42, 42/7.

564, 7'ye bölünür, çünkü 56-4 2 = 48, 48 7'ye tam bölünemez.

VIII. Doğal bir sayı 7 ile bölünebilir ve daha sonra, basamaklar 7'ye bölündüğünde, sayının fazlalık temelinde oluşturulan basamaklarının toplamı elde edilirse, 7'ye bölünür.

Uygulamak:

10׃7=1 (zup 3)

100׃7=14 (zup 2)

1000׃7 = 142 (kalan 6)

10000׃7 = 1428 (zup 4)

100000׃7=14285 (dinlenme 5)

1000000׃7=142857 (zost 1) ve fazlalıklar tekrarlanır.

1316 sayısı 7'ye tam bölünür çünkü bir· 6+3 2+1 3 +6 = 21, 21/7

354722 sayısı 7'ye tam bölünemez çünkü 3 5 +5 4 +4 6 +7 2 +2 3 +2 = 81; altta 6-fazla 1000'e 7; 2-artı altta 100'e 7; 3-artı altta 10'a 7).

Hediye sayısı, portakal, zucerok ve dağların sayısını yansıtan cilt numaralarının bir dilnik olabilir, üstelik bu sayıların en büyüğü. Bu sayıların GCD'sini bilmesi gerekiyor. GCD (60, 175, 225) \u003d 15. Mestitime'a deri hediye: 60: 15 \u003d 4 - portakal,175: 15 \u003d 11 - sıcak ve 225: 15 \u003d 15 - zukerok.

Öneri: Bir hediyede - 4 portakal, 11 dağ, 15 zuceroks.

Görev 3: 9. sınıfta, kontrol çalışması için 1/7 öğrenci beşli, 1/3 - dörtlü, ½ - üçlü aldı. Diğer robotların yetersiz olduğu ortaya çıktı. Bu robotlardan kaç tanesi?

Çözüm: Problem çözme, sayıların katı olan bir sayı olabilir: 7, 3, 2. Bu sayıların en küçük sayısını biliyoruz. NOK (7, 3, 2) \u003d 42. Zihinsel görev için puan ekleyebilirsiniz: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) \u003d 1 - 1 başarısız.

Problem kurmanın matematiksel tanımlarına izin verilir, ancak 84, 126. sınıftaki öğrenci sayısı çok azdır. adam. Ale z mirkuvan sağlıklı glüzdu vplivaє, scho en hoş vіdpoviddu є 42 numara.

Öneri: 1 robot.

Görev 4.

İki sınıfta aynı anda 70 öğrenci var. Bir sınıfta, 7/17 öğrenci derse gelmedi ve başka bir sınıfta 2/9 matematikte rozet aldı. Deri sınıfında kaç çalışma var?

Uygulamak:

25.600 bölü 100, çünkü sayılar aynı sayıda sıfırla biter.

8975000 bölü 1000 o zamandan beri rahatsız edici sayılar 000 ile bitecek.

Görev 1: (Vikoristannya spilnykh dilnikov bu NOD)

Uchni 5 "A" sınıfı 203 asistan tarafından satın alındı. Kozhen aynı sayıda kitap satın almış. Skіlki bulo p'yatiklasnikіv onlardan deri satın aldığım için skіlki pridruchnikіv?

Çözüm: Saldırgan değerler, ifade edilmesi gerektiği gibi, tobto tam sayılarda olabilir. rebuvat mid-dilnikov sayı 203. Çarpanlar için 203 bildirerek şunları alacağız:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

3 pratik aynasonra, o asistan 29 olabilir. bu yüzden asistan sayısını artırmak imkansız1, beri Her öğrenci türü için 203..

Öneri: 29 beşinci sınıf öğrencisi; 7 asistan

Görev 2. Є 60 portakal, 165 dağ ve 225 zücerok. Stoktan çocuklara aynı hediyelerden en fazla kaçı yapılabilir? Cilt kitinden önce ne görüyorsunuz?

Çözüm:

8 için bölünebilirlik işareti.

125 8 = 1000; 242 8 = 1936; 512 8 = 4096; 600 8 = 4800; 1234 8 = 9872; 122875 8 = 983.000;

doğal yıl sayı yalnızca 8'e bölünebilir ve yalnızca kalan üç basamak 0'a bölünebiliyorsa veya 8'e bölünebilen bir sayı ayarladıysa.

11 için alt bölüm işaretleri.

I. Eşlenmemiş yerlerde bulunan rakamların toplamı ile eşleştirilmiş yerlerde bulunan rakamların toplamı arasındaki fark 11'in katı olduğundan, sayı 11'e bölünebilir.

Perakende negatif bir sayı veya 0 olabilir, ancak 11'in katı olabilir. Numaralandırma sağa gider.

popo:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10, 11'in katı değildir, yani tam sayı 11'e tam bölünür.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11, 11'in katıdır, yine tam sayı 11'e tam bölünür.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10, 11'in katı değildir, yani tam sayı 11'e tam bölünür.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11, 11'in katıdır, yine tam sayı 11'e tam bölünür.

II. Doğal sayı, ciltte 2 haneli gruplara sağ elle bölünür ve grubun sayıları toplanır. Toplam 11'in katıysa, örneklenen sayı 11'in katıdır.

Örnek: 12561714 sayısının 11'e tam bölünebilmesi anlamlıdır.

Cilt için iki basamaklı gruplar halinde gül sayısı: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 11'e tam bölünür yani tam sayı 11'e tam bölünür.

III. Üç basamaklı bir doğal sayı, sayının gerçek basamaklarının toplamı ortadaki basamaklara eşit olduğu için 11'e bölünebilir. Vidpov_d, sessiz sayılardan katlandı.

Uygulamak:

594 bölü 11, çünkü 5+4=9, 9-ortada.

473 bölü 11 çünkü 4+3=7, 7- ortada.

861, 11'e bölünür, çünkü 8+1=9 ve ortası 6'dır.

12 için bölünebilirlik işareti.

Bir doğal sayı 12'ye tam bölünür ve aynı anda hem 3'e hem de 4'e bölünüyorsa.

Uygulamak:

636, 3'e ve 4'e bölünür ve yine 12'ye bölünür.

587 ne 3'e ne 4'e ne de 12'ye bölünür.

27126 3'e tam bölünemez ama 4'e tam bölünemez ama 12'ye tam bölünemez.

37'de özgünlük belirtileri.

I. Bir doğal sayı 37'ye tam bölünür, tıpkı onuncu kayıttaki 'inci sayının basamaklarının üçünden oluşan sayıların toplamının 37'ye bölünmesi gibi.

Örnek: 100048 sayısı 37 ile tam bölünür.

100/048 100+48=148, 148 37 ile tam bölünür, yine 37 ile tam bölünür.

II. 37 ile bölünebilen, aynı basamaklarla yazılmış üç basamaklı bir doğal sayı.

popo:

111, 222, 333, 444, 555, ... sayıları 37'ye bölünür.

25 için özgünlük işareti

Bir doğal sayı 25'e tam bölünür ama sonu 00, 25, 50, 75 ile biter.

50'ye kadar üyelik imzası.

50'ye bölünen sayılar: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Koku ya 50 ya da 00 sona erecek.

Bir doğal sayı, iki sıfır veya 50 ile bitiyorsa, 50 ve daha fazlasına bölünebilir.

10, 100, 1000, … için konsolide özgünlük rozeti

Örneğin, doğal bir sayı, sütunlar ve sıfırlar varsa, sütunlar bir sıralama birimindeyse, o zaman tam sayı tsyu sıralamasına bölünür.

iyi yalnız.

13 için alt bölüm işaretleri.

I. Bir doğal sayı 13'e tam bölünür, tıpkı bin ile kalan üç basamağın yaptığı sayı arasındaki farkın 13'e tam bölünebilmesi gibi.

Uygulamak:

465.400 sayısı 13'e tam bölünür çünkü 465 - 400 = 65, 65 bölü 13.

256184 sayısı 13'e tam bölünemez çünkü 256 - 184 = 72, 72, 13'e tam bölünemez.

II. Bir doğal sayı 13'e tam bölünür ve kalan basamağın sonucu 9 ile çarpılırsa bu sayının kalan basamağı olmadan 13'e bölünür.

Uygulamak:

988 bölü 13 çünkü 98 - 9 8 = 26, 26 bölü 13.

853 13'e bölünmez çünkü 85 - 3 9 = 58, 58 13'e tam bölünemez.

Bölünebilirlik işareti 14'te.

Bir doğal sayı 14'e tam bölünür, aynı anda hem 2'ye hem de 7'ye bölünüyorsa.

Uygulamak:

45826 sayısı 2'ye tam bölünemez ama 7'ye tam bölünemez ama 14'e tam bölünemez.

1771 sayısı 7'ye tam bölünür ama 2'ye tam bölünemez ama 14'e tam bölünemez.

15 için bölünebilirlik işareti.

Saygılarımızla, 15 = 3 5.Bir doğal sayı aynı anda hem 5'e hem de 3'e bölünse de 15'e bölünür.

Uygulamak:

346725 5'e bölünür (5 ile biter) ve 3'e bölünür (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), aynı sayı 15'e bölünür.

48732, 3'e bölünebilir (4 +8 +7 +3 +2 = 24, 24:3), ancak 5'e bölünemez, dolayısıyla sayı 15'e bölünemez.

87565 5'e bölünür (5 ile biter) 3'e bölünmez (8+7+5+6+5=31, 31 3'e bölünmez), aynı sayı 15'e bölünmez.

Bölünebilirlik işareti 19'da.

Bir doğal sayı, 19'a tam bölünür ve ondan fazla varsa, 1'in alt basamağı ile katlanır, 19'a bölünür.

Unutulmamalıdır ki, gereksinim sayısındaki onlarca sayısı, onlar sırasına göre sayı değil, tam sayıdaki onlarcalar toplamıdır.

Uygulamak:

153 4 tens-153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 19'a bölünemez, yani i 1534 19'a bölünemez.

182 4 182 +4 2 = 190, 190:19, daha sonra, sayı 1824:19.

DBOU ZOSH demiryolu Sanat. Navantagewalna

özgünlük belirtileri

DOĞAL

SAYI

Etkareva Alina tarafından derlenmiştir.

2013 yılı

Şimdi "4'te özgünlük işareti"ne bakmaya başlayalım. İşaretleri formüle edeceğiz, kanıtlayacağız, görevin ana uygulamasına bakacağız. Örneğin, sayıların alt bölümlerini virase tarafından verilen 4'e getirmemiz gerekirse, sessiz durumlarda durabilmemiz için yaklaşımlarla ilgili sayıları böldük.

4 için bölünebilirlik işareti, popo

Bu sayının 4 ile tam bölünebildiğini doğrulamak için basit bir yol izleyebilir ve tek değerli bir doğal sayıyı 4 ile ekleyebiliriz. Ayrıca çift haneli, üç haneli ve in ile bulabilirsiniz. sayılar. Prote, sayılar ne kadar erirse, o kadar fazla katlanır, їх y 4'ün gerçekliğini kontrol etmek için tek bir yöntemle ondan günlük yürütmek.

Özgünlük rozetini 4 ile kazanmak daha kolay. 4 tamsayısının kalan basamaklarından birinin veya ikisinin bölünebilirliğinin yeniden doğrulanmasını aktarırken. Bunun anlamı ne? Tse, a sayısı 4'e bölündüğünde, bu durumda, a sayısının kaydının bir veya iki aşırı sağ basamağı 4'e bölündüğü için demektir. a sayısının en sağdaki iki basamağından toplanan sayı 4'e tam bölünemiyorsa a sayısı 4'e tam bölünemez.

popo 1

Yaki z numaraları 98 028 , 7 612 ta 999 888 777 4 ile bölünebilir mi?

Çözüm

Sayıların aşırı sağ rakamları − 98028, 7612, 4'e bölünebilen 28 ve 12 sayılarını toplar. Tse, sayıların − 98028, 7612? 4'e tam bölünebilir.

Numara girişinde iki basamak kal 999 888 777 77 sayısını fazladan 4'e bölünmemek için onaylayın. Tse, sayının fazlalık olmadan 4'e bölünemeyeceği anlamına gelir.

Öneri:- 98 028 ve 7 612 .

Sanki є 0 sayısının kaydında bir rakamdan önceymiş gibi, o zaman bu sıfırı görmeli ve kayıt dışı bırakılan en sağdaki şekle hayret etmeliyiz. Çıkın, iki basamak 01, 1 ile değiştirilir. Ve şimdi, kaybolan birer birer, son sayıyı 4'e kadar uzatanlar hakkında robimo visnovki yapıyoruz.

popo 2

ki sayısı 75 003 і − 88 108 4 için?

Çözüm

Numaranın kalan iki basamağı 75 003 - bachimo 03 . Sıfıra vurursanız, o zaman içimizde 3 sayısı kalır, yani çok fazla 4'e bölmeden yapamayız. Tse, sayının bittiği anlamına gelir 75 003 4 olmadan çok fazla bölünemez.

Şimdi sayının kalan iki basamağını alın − 88 108 . 8 sayısının geri kalanını dışarıda bırakabileceğimiz Tse 08. 8 bölü 4'e bölünür.

Tse, sayının bittiği anlamına gelir − 88 108 çok fazla olmadan 4'e indirebiliriz.

Öneri: 75 003 4 ile bölünemez ama − 88 108 - Paylaş.

Örneğin iki sıfırı olan sayılar da 4'e tam bölünür. Örneğin 100, 4'e bölünür, 25 çıkar. Bir sayıyı 100 ile çarpma kuralı, bu iddianın doğruluğunu ortaya çıkarmamızı sağlar.

Oldukça anlamlı bir a sayısının oldukça yeterli olduğu düşünülebilir, böyle sağ elini kullanan bir kişinin kaydı, tver gibi iki sıfırla biter. 1 100, sayı 1 a sayısından girmek için, böylece sağ elini kullanan kayıt iki sıfır içermelidir. Örneğin, 486700 = 4867 100.

tvir 1 100 4'e bölünen çarpan 100'ün intikamını alın. Tse, tse vurgulu twir'in 4'e bölündüğü anlamına gelir.

4 kişilik orijinallik kanıtı

Bir doğal sayı olduğunu hayal et a kıskançlık karşısında a = a1 100 + a0, hangi sayıda 1- bütün sayı a, kalan iki rakamın çıkarıldığı kayıttan ve numara 0- numara girişindeki iki aşırı sağ basamağın tümü a. Belirli doğal sayıları kazanırsanız, matima'nın denkliği tanımsız görünür. Bir ve iki basamaklı sayılar için bir = a0.

Randevu 1

Şimdi ikilemin gücüne geçiyoruz:

alt modül numarası a b sayısının modülü üzerinde sayı yapmak için gerekli ve yeterlidir a b sayısı hedefe dağıtıldı;
a = s + t eşitliğinde biri hariç tüm üyeler b sayısına bölünürse, eksik olan tüm üye b sayısına bölünür.

Şimdi, loşluğun gerekli gücünün hafızasını tazeledikten sonra, 4 ile loşluğun işaretlerinin kanıtını, 4 ile loşluğun gerekli ve yeterli zihni olarak yeniden formüle ediyoruz.

teorem 1

A sayısının kaydında kalan iki basamağı 4'e böldü - bu, a tamsayısını 4'e bölmek için yeterli akla ihtiyaç olması için gereklidir.

Kanıt 1

bırak gitsin bir = 0, İspat teoremi gerekli değildir. a tamsayılarını çözmek için, pozitif bir sayı olan a sayısının modülünü hesaplayabiliriz: a \u003d a 1 100 + a 0

tvir olanın iyileştirilmesine 1 100 her zaman 4'e bölünebilir ve ayrıca bölünebilme kuvvetinin iyileştirilmesiyle, daha fazlasını verdiğimiz gibi, böyle bir ifade geliştirebiliriz: a sayısı 4'e bölünebiliyorsa, o zaman a sayısının modülü 4'e bölünebilir, sonra düzgünlük ile a \u003d a 1 100 + a 0 bunu takip edin 0 4 ile bölünebilir. Böylece ihtiyacı getirdik.

Eşitlik a = a 1 100 + a 0, a'nın modülünün 4'e bölündüğü açıktır. Tse, a sayısının kendisinin 4'e bölünebildiği anlamına gelir. Böylece refah getirdik.

4'ten sonra geldi

Farklara bakalım, ondalık bir virase tarafından verilen 4 tamsayı için bir alt bölüm ayarlamak gerekirse, böyle bir gereksinimin değerini hesaplayın. Kimin için yaklaşan yolu seçebiliriz:

biri 4'e bölünebilen çok sayıda çarpanın üretimi nazarında virazın yokluğunu ortaya çıkarmak;
bölünebilirliği temelinde visnovok büyümek
4 .

Newton'un binom formülü genellikle göreve yardımcı olur.

popo 3

Chi herhangi bir doğal ile 4 değere bölünür virazu 9 n - 12 n + 7 n?

Çözüm

9 yak sumi 8+1 ortaya çıkarabiliriz. Bu bize Newton'un binom formülünü uygulama fırsatı verir:

9 n - 12 n + 7 = 8 + 1 n - 12 n + 7 = = Cn 0 8 n + Cn 1 8 n - 1 1+ . . . + C n n - 2 8 2 1 n - 2 + Cn n - 1 8 1 n - 1 + Cn n 1 n - - 12 n + 7 = = 8 n + Cn 1 8 n - 1 · 1+. . . + C n n - 2 8 2 + n 8 + 1 - - 12 n + 7 = = 8 n + Cn 1 8 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 8 2 - 4 n + 8 = = 4 2 8 n - 1 + 2 Cn 1 8 n - 2 +. . . + 2 C n n - 2 8 1 - n + 2

Tver, değişim saatini aldığımız gibi, çarpan 4'ün intikamını alıyoruz ve tapınaklardaki viraz doğal bir sayı. Tse, bu tvir'in çok fazla olmadan 4'e bölünebileceği anlamına gelir.

Bir viraz 9 n - 12 n + 7'nin herhangi bir doğal n için 4'e bölünebildiğinden emin olabiliriz.

Öneri: Yani.

Görevi tamamlamak için matematiksel tümevarım yöntemini de kullanabiliriz. Çözümün analizinin diğer detaylarına saygınızı göstermemek için, koca bir kıçı alın.

popo 4

Diyelim ki 9 n - 12 n + 7 herhangi bir doğal n için 4'e bölünebilir.

Çözüm

Neyin kurulmasından öğrenelim, önemi ile n=1 virazu değeri 9 n - 12 n + 7
Ekstra olmadan 4'e bölebilirsiniz.

Alınan: 9 1 - 12 1 + 7 \u003d 4. 4 bölü 4 fazlalık olmadan.

Artık bırakabiliriz, anlamı nedir? n=k virazu değeri
9 n - 12 n + 7, 4'e bölünebilir. Aslında, 4'e bölünebilen 9 k - 12 k + 7 virase kullanacağız.

9 n - 12 n + 7 olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. n=k+1 9k - 12k + 7'nin 4'e bölünmesini düzeltmek için 4'e bölünecektir:

9 k + 1 - 12 (k + 1) + 7 = 9 9 k - 12 k - 5 = 9 9 k - 12 k + 7 + 96 k - 68 = = 9 9 k - 12 k + 7 + 4 24k - 17

Toplamı aldık, ilk ek ödemede 9 9 k - 12 k + 7, 9 k - 12 k + 7'nin 4'e bölünmesiyle ilgili ödeneklerimizle bağlantılı olarak 4'e bölünür ve diğer ek ödeme 4 24 k-17 , 4'e bölünen bağlantıdaki çarpan 4'ün intikamını alın . Tse, toplamın 4'e bölünebildiği anlamına gelir.

Öneri: 9 n - 12 n + 7'nin herhangi bir n doğal değeri için matematiksel tümevarımla 4'e bölünebileceğini gösterdik.

Deaky viraz'ın alt bölümünü 4'e getirmek için bir pidkhid daha kazanabiliriz. Tsey pidkhid şunları aktarıyor:

n değişkenli belirli bir virüsün değerinin n = 4 m, n = 4 m + 1, n = 4 m + 2 için 4'e bölünebildiğinin kanıtı n = 4 m + 3, de m- bütün sayı;
n tamsayı ne olursa olsun, bu virüsün gerçekliğini 4'e getirme konusunda visnovok.

popo 5

Getir, herhangi bir tam sayı için n n 2 + 1 n + 3 n 2 + 4'ün değeri nedir? n 4 ile bölünebilir.

Çözüm

bırak gitsin n = 4 m, alıyoruz:

4 m 4 m 2 + 1 4 m + 3 4 m 2 + 4 = 4 m 16 m 2 + 1 4 m + 3 4 4 m 2 + 1

Çarpanı 4 çıkarın, diğer tüm çarpanlar tam sayılarla temsil edilir. Tver'in 4'e bölünmesine izin vermek için bir tahminde bulunun.

bırak gitsin n = 4 m + 1, alıyoruz:

4 m + 1 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 + 3 4 m + 1 2 + 4 = = (4 m 1) + 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 4 m + 1 2 + 4

Değişim saatini elimizden aldığımız yaratılışta yeniyim,
ofset çarpanı 4 .

Tse, 4'e bölünebilen anlamına gelir.

n = 4 m + 2 olduğunu varsayarsak, o zaman:

4 m + 2 4 m + 2 2 + 1 4 m + 2 + 3 4 m + 2 2 + 4 = = 2 2 m + 1 16 m 2 + 16 m + 5 (4 m + 5 ) 8 (2m2 + 2m + 1)

Burada yaratıcılar, 4 ile kaybedilebilecek olan 8 çarpanını aldılar. Tse, tse tvir'in 4'e bölünmesi anlamına gelir.

n = 4 m + 3'ün kabul edilebilir olduğunu varsayarsak:

4 m + 3 4 m + 3 2 + 1 4 m + 3 + 3 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 2 8 m 2 + 12 m + 5 2 2 m + 3 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 4 m + 3 8 m 2 + 12 m + 5 16 m 2 + 24 m + 13

İntikam çarpanı 4, fazladan 4'e bölmek anlamına gelir.

Öneri: n için hafta sonunun 4'e bölündüğünü getirdik.

Metindeki affı nasıl hatırladın, kibar ol, gör ve Ctrl + Enter tuşlarına bas