Podobnie jak liczba jest podzielona przez 2 3. Główne oznaki autentyczności. Rozdil II. Oznaki autentyczności liczb naturalnych

13.04.2022

Matematyka w szóstej klasie opiera się na zrozumieniu podróbki i znaku podróbki. Często są otoczone oznakami fałszerstwa na następujących liczbach:

Na 2 : pozostała cyfra może być 0, 2, 4, 6 lub 8;
Na 3 : suma cyfr liczby może być podzielna przez 3;
Na 4 : liczba składająca się z pozostałych dwóch cyfr, może być podzielna przez 4;
Na 5 : pozostała cyfra może wynosić 0 lub 5;
Na 6 : liczba winy matki oznaki autentyczności na 2 i 3;
Znak dimity włączony 7 często pomijany;
Rzadko można powiedzieć to samo o włączonym znaku fałszerstwa 8 , chociaż vin jest podobny do znaków przyciemnienia o 2 i 4. Jeśli liczba jest zmniejszona o 8, to trzeba mieć wystarczającą, jeśli trzycyfrowa końcówka jest zmniejszona o 8.
Znak dimity włączony 9 Znam cię: suma cyfr liczby może być podzielna przez 9. Cóż, szczerze mówiąc, nie rozwijasz odporności na mocne sztuczki z dat, takie jak wygrywają numerologowie.
Znak dimity włączony 10 , Chantly, najprostsze: liczba może kończyć się zerem.
Niektórzy szóstoklasiści mówią o znaku fałszerstwa na 11 . Należy policzyć cyfry numeru, stanąć na sparowanych miejscach, aby ułożyć, zgodnie z wynikiem oglądania liczb, stanąć na niesparowanych miejscach. Jeśli wynik jest podzielny przez 11, to ta sama liczba jest podzielna przez 11.

Przejdźmy teraz do znaku mroku o 7. Jeśli mówimy o nowym, przejdziemy od znaku mroku do 13 i uczynimy go tak zwycięskim.

Bierzemy numer. Podziel jogę na 3-cyfrowe bloki w skórze (najmniejszy blok może mieć 1 lub 2 cyfry) i naprzemiennie dodawaj/usuwaj bloki qi.

Jeśli wynik jest podzielny przez 7, 13 (lub 11), to ta sama liczba jest podzielna przez 7, 13 (ilb 11).

Podstawy tej metody, podobnie jak szereg matematycznych sztuczek na tym, że 7х11х13 = 1001.

Vykoristovuyuchi uniwersalny znak ciemności, możesz wywołać zauważalnie proste algorytmy nominału, chi rozszerzać liczbę o 7 i inne „nieobsłużone” liczby.

Poprawiona odznaka fałszerstwa o 7
Aby odwrócić, jeśli liczba jest dzielona przez 7, należy wybrać pozostałą cyfrę z liczby i wybrać cyfrę binarną z wyniku. Jeśli wynik jest podzielny przez 7, ta sama liczba jest podzielna przez 7.

Przykład 1:
Chi dzieli się na siódmą liczbę 238?
23-8-8 = 7. Również liczba 238 jest podzielona przez 7.
Prawda, 238 = 34x7

Qiu diyu można przeprowadzić bagatorazovo.
Przykład 2:
Chi dzieli się na 7 numer 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 dzieli się przez 7 (gdyby mnie nie pamiętali, mogło to być o 1 szydełko więcej: 6-3-3 \u003d 0, a 0 na pewno byłoby podzielone przez 7).

Ponadto liczba 65835 jest podzielna przez 7.

Na podstawie uniwersalnych znaków fałszu można uzupełnić znaki fałszu o 4 i o 8.

Ulepszona odznaka dla 4
Na przykład połowa liczby jedynek to suma liczby dziesiątek - liczba faceta, liczba jest podzielna przez 4.

tyłek 3
Chi dzieli liczbę 52 przez 4?
5 + 2/2 \u003d 6, numer faceta, to samo, liczba 4 jest podzielona.

tyłek 4
Chi dzieli liczbę 134 przez 4?
3 + 4/2 = 5, liczba jest niesparowana, również 134 nie dzieli się przez 4.

Poprawiono znak fałszerstwa o 8
Jeśli zsumujesz podwojoną liczbę setek, liczbę dziesiątek i połowę liczby jedynek, a wynik będzie podzielny przez 4, to liczba będzie podzielna przez 8.

tyłek 5
Chi dzieli liczbę 512 przez 8?
5*2+1+2/2 = 12, liczba jest dzielona przez 4, znowu 512 jest dzielone przez 8.

tyłek 6
Jaka jest liczba 1984 podzielona przez 8?
9*2+8+4/2 = 28, liczba jest podzielna przez 4, podobnie, 1984 jest podzielne przez 8.

Znak tożsamości dla 12- tse znak dylimacyjny w dniu 3 w 4. Tse w pracyuє і dla be-yak n, który jest dziełem wzajemnie prostym p і q. Aby liczba została podzielona przez n (ponieważ uzupełnianie pq jest droższe, to jest tak, że NWD(p, q) = 1) można podzielić przez p i q jednocześnie.

Proszę o szacunek! Szloch pratsyuvali przechowuje oznaki fałszu, mnożniki liczby winy są wzajemnie proste. Nie możesz stwierdzić, czy liczba jest podzielna przez 8, czy jest podzielna przez 2 i przez 4.

Ulepszona odznaka za 13
Aby ponownie rozważyć, jeśli liczba jest podzielona przez 13, należy dodać pozostałą liczbę i do wyniku її razy chotir i dodać. Jeśli wynik jest podzielny przez 13, ta sama liczba jest podzielna przez 13.

tyłek 7
Chi podzielone przez ósmą liczbę 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Liczba 43 nie jest podzielna przez 13, podobnie liczba 65835 nie jest podzielna przez 13.

tyłek 8
Chi jest podzielony 13 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 jest dzielone przez 13, a liczba 715 jest dzielona przez 13.

Oznaki autentyczności w 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 te inne numery magazynowe, które nie są prostymi krokami, są podobne do znaków podzielności przez 12.

dla 14: o 2 i o 7;
dla 15: o 3 i o 5;
dla 18: o 2 i o 9;
dla 21: o 3 i o 7;
Dla 20: o 4 i o 5 (w przeciwnym razie pozostała liczba może wynosić zero, a reszta - para);
Dla 24: o 3 i o 8;
za 26 lat: o 2 i o 13 lat;
Za 28 lat: o 4 i o 7.

Poprawiona odznaka autentyczności o 16.
Zamiast tego, aby odwrócić 4-cyfrowe zakończenie liczby o 16, możesz dodać cyfrę jedynki z 10-krotnym wzrostem liczby dziesiątek, z 4-cyfrową liczbą setki i z
zbіlshenoy y vіsіm timesіv cyfr tysięcy i revіrіt, chi dzieląc wynik przez 16.

tyłek 9
Czy liczba 1984 zmienia się na 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 nie jest podzielne przez 16, a 1984 również nie jest podzielne przez 16.

tyłek 10
Chi dzieli liczbę 1526 przez 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nie jest dzielone przez 16, a 1526 jest również dzielone przez 16.

Poprawiona odznaka autentyczności o 17.
Aby dokonać korekty, jeśli liczba jest podzielona przez 17, należy wybrać pozostałą cyfrę z liczby i pięciokrotnie wybrać pozostałą cyfrę z wyniku. Jeśli wynik jest podzielny przez 13, ta sama liczba jest podzielna przez 13.

tyłek 11
Czy liczba 59772 odejmuje się od 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 jest dzielone przez 17, a liczba 59772 jest również dzielona przez 17.

tyłek 12
Czy liczba 4913 jest odejmowana przez 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 jest dzielone przez 17, a liczba 4913 jest również dzielona przez 17.

Ulepszona odznaka autentyczności na 19.
Aby pogodzić, że liczba jest podzielona przez 19, należy zsumować pozostałą liczbę, aby dodać do liczby brakującej po policzeniu pozostałej liczby.

tyłek 13
Chi dzieli liczbę 9044 przez 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 jest dzielone przez 19, a liczba 9044 jest dzielona przez 19.

Ulepszona odznaka autentyczności na 23.
Aby odwrócić, liczba jest dzielona przez 23, pozostała liczba jest wymagana, zwiększam ją 7 razy, dodaję do brakującej liczby po odgadnięciu pozostałej liczby.

tyłek 14
Czy liczba 208012 jest odejmowana przez 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Już pamiętasz, że 253 - tse 23,

Trwa cykl artykułów o oznakach fałszerstwa znak autentyczności na 3. W statucie tym formuła znaku podzielności przez 3 jest podana z tyłu głowy, a zastosowanie znaku jest wskazane, gdy z'yasuvann, jeśli z podanych liczb całkowitych dzieli się przez 3, oraz jak - rz. Dalі wywołał oznaki fałszu na 3 . Przyjrzano się również, jeśli chodziło o ustawienie fałszywego na 3 liczbach, ustawiając je jako znaczenie piosenki.

Nawigacja z boku.

Znak podzielności dla 3, tyłek

Pochnemo s formułowanie znaków autentyczności na 3: liczba całkowita jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr danej liczby nie jest podzielna przez 3, to sama liczba nie jest podzielna przez 3.

Z indukowanej formuły wydaje się, że znak podzielności przez 3 nie pozwala ci wiercić się bez rozumu, aby wygrać. Ponadto, aby udać się stosuvannya, oznaki fałszerstwa przez 3 muszą wiedzieć, że liczby 3, 6 i 9 są dzielone przez 3, a liczby 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nie powinny być dzielone przez 3.

Teraz możesz spojrzeć na najprostsze umieścić oznaki fałszerstwa na 3. Oczywiste jest, że chi dzieli się przez trzecią liczbę −42. Dla którego obliczana jest suma cyfr liczby −42, całkowita liczba wynosi 4+2=6. Oskіlki 6 można podzielić przez 3, następnie znaki podzielności przez 3 można utwardzić, podobnie jak liczbę −42 można podzielić przez 3. Po pierwsze, liczby dodatniej 71 nie można podzielić przez 3, ale suma cyfr jest równa 7+1=8, a 8 nie można podzielić przez 3.

A chi jest dzielone przez 3 liczbę 0? Jeśli nie potrzebujesz znaku podzielności przez 3, musisz odgadnąć potęgę podzielności, podobnie jak bryła, że zero jest podzielone na liczbę całkowitą. W tej kolejności 0 dzieli się na 3.

W pewnym sensie musisz pokazać, że podaną liczbę można podzielić przez 3 lub nie; Podajmy przykład.

krupon.

Pokaż, że liczba 907444812 jest podzielna przez 3 .

Rozwiązanie.

Suma cyfr liczby 907 444 812 jest stara 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Schob z'yasuvati, chi dzielimy przez 39 przez 3, obliczamy sumę cyfr: 3 + 9 = 12. Aby się dowiedzieć, chi dzieli się przez 12 przez 3, znamy sumę cyfr liczby 12, może 1 + 2 = 3. Oskіlki mi zabrał liczbę 3, jeśli jest podzielna przez 3, to znaki podzielności przez 3 liczba 12 są podzielne przez 3. Ponadto 39 jest dzielone przez 3, suma cyfr to 12, a 12 jest dzielone przez 3. Nareshti, 907333812 jest dzielone przez 3, więc suma cyfr to 39, a 39 jest dzielone przez 3.

Aby naprawić materiał, wybierzemy rozwiązanie jeszcze jednego tyłka.

krupon.

Q jest dzielone przez trzecią liczbę −543 205?

Rozwiązanie.

Oblicz sumę cyfr liczby: 5+4+3+2+0+5=19 . Mam własny wiersz, suma cyfr liczby 19 to 1+9=10, a suma cyfr liczby 10 to 1+0=1. Oskіlki mi odjął liczbę 1, która jest podzielna przez 3, ale znaki podzielności przez 3 dalej, ponieważ 10 nie jest podzielne przez 3. Tom 19 nie jest dzielony przez 3, suma liczb jest równa 10, a 10 nie jest dzielone przez 3. Również liczba -543 205 nie jest podzielna przez 3, ale suma cyfr, która jest bardziej podobna do 19, nie jest podzielna przez 3.

Sugestia:

Ni.

Varto szanuje, że nieprzerwany podział liczby przez 3 pozwala tworzyć kosmyki o tych, że ta sama liczba jest podzielna przez 3, chi. Tsim mi chcę powiedzieć, że nie trzeba łamać znaków podziału przez 3. W pozostałych 543 205 na 3 zmieniliśmy, więc 543 205 nie dzieli przez 3, gwiazdy można powiedzieć, że −543 205 nie dzieli przez 3.

Dowód autentyczności dla 3

Doprowadź znak podzielności do 3, aby pomóc nam w nadejściu liczby a. Jeśli jest to liczba naturalna a, to możemy, jeśli pozwala nam to przyjąć postać, de a n, a n−1, ..., a 0 to liczby, które stoją po prawej stronie zapisania liczby a. Dla jasności narysujmy przykład takiej myśli: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Zapiszmy teraz szereg, aby uzupełnić oczywiste równości: 10 = 9 +1 = 3 3 +1, 100 = 99 +1 = 33 3 +1, 1000 = 999 +1 = 333 3 +1 i tak dalej.

Zastępowanie zazdrości a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 zastąp 10, 100, 1000 i tak dalej kolej 3 3 +1, 33 3 +1, 999 +1 = 333 3 +1 i tak dalej, zabierz
.

Pozwalam otrimanowi przepisać w następujący sposób:

Viraz є suma cyfr liczby a. Znacząco її dla stylu i wyrazistości litery A, to jest do przyjęcia. Następnie usuwamy wygląd liczby rodzaj, jak i przyspieszamy dowód znaku autentyczności o 3.

Ponadto, aby udowodnić oznaki fałszywości dla 3, potrzebujemy takiej mocy fałszerstwa:

aby liczba a podzielona przez liczbę b była konieczna i wystarczająca, aby została podzielona przez moduł liczby b;
nawet jeśli a=s+t wszyscy członkowie, z wyjątkiem jednego, są dzieleni przez tę samą liczbę b, ci jeden członek jest dzielony przez b.

Teraz jesteśmy gotowi do przygotowania i możemy przeprowadzić dowód autentyczności dla 3, dla czytelności znaku formułujemy je jako konieczne i wystarczające, aby zmniejszyć podzielność o 3.

Twierdzenie.

Aby liczba całkowita a była podzielna przez 3, wystarczy, że suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Przynoszący.

Do a=0 twierdzenie jest oczywiste.

Yakscho a jest zdefiniowane jako zero, to moduł liczby a jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie można ją wykazać, de - suma cyfr a.

Suma oskіlki w dobutok tsіlih liczb є liczba tsіle, a następnie - liczba tsіle, to dіlіmostі tvіr dіlіtsya o 3 dla czy 0 , a 1 , …, n .

Jeżeli suma cyfr liczby a jest dzielona przez 3, to A dzieli się przez 3, a następnie, ze względu na potęgę podzielności, wskazaną przed twierdzeniem, dzieli się przez 3, a następnie dzieli się przez 3 . W ten sposób uzyskuje się wystarczalność.

Yakscho a jest podzielne przez 3 , te i jest podzielne przez 3 , to potęga podzielności jest podzielna przez 3 , więc suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3 . W ten sposób pojawiła się konieczność.

Іnshі vypadki podіlnostі 3

Czasami liczby są podane nad rzeczami oczywistymi, ponieważ znaczenie tego samego ze znaczeniem zmiany. Na przykład znaczenie virase z dziesiętną liczbą naturalną jest liczbą naturalną. Zdałem sobie sprawę, że przy takim zestawie liczb do ustawiania ich podzielności przez 3 nie można dodać nieprzerwanego podziału do 3, a znak podzielności do 3 jest daleki od utknięcia. Zaraz przyjrzymy się kilku krokom do realizacji takich zamówień.

Istotą tych podejść jest wgryzanie się w daną cnotliwą wizję, widząc tworzenie wielu mnożników, a nawet jeśli jeden z mnożników byłby podzielny przez 3, to dzięki sile podzielności można tworzyć wiznowory dotyczące różnorodność twórczości o 3.

Dozwolone jest wdrożenie takiego pidkhida. Przyjrzyjmy się rozwiązaniu.

krupon.

Czy wartość rozciąga się o 3 dla dowolnego naturalnego n ?

Rozwiązanie.

Oczywista zazdrość. Przyspieszony przez dwumian Newtona:

W pozostałej części zakrętu możemy winić 3 łuki, którymi jest zabierany. Odejmowanie twіr jest dzielone przez 3, odłamki są równe mnożnikowi 3, a wartość krawędzi w łukach z naturalnym n jest liczbą naturalną. Znowu podzielna przez 3 dla dowolnej naturalnej n.

Sugestia:

Więc.

W bogatej vipadkah możesz zwiększyć podział o 3. Rzućmy okiem na jogę zastosuvannya po godzinie vіrіshennya tyłek.

krupon.

Pokaż, że dowolną naturalną wartość n można podzielić przez 3.

Rozwiązanie.

Do potwierdzenia konieczne jest zastosowanie metody indukcji matematycznej.

Na Wartość n=1 jest uważana za poprawną, a 6 jest dzielone przez 3.

Załóżmy, że wartość jest podzielna przez 3 dla n=k, to jest podzielna przez 3.

Co zaskakujące, co jest podzielne przez 3, można wykazać, że wartość viraz przy n=k+1 jest podzielna przez 3, a następnie, w sposób dowodowy, co podzielna przez 3

Przeprowadźmy transformację:

Viraz jest podzielony na 3 ta viraz podzielna przez 3, to suma jest podzielna przez 3.

W ten sposób, metodą indukcji matematycznej, podział został sprowadzony do 3 dla dowolnego naturalnego n.

Pokażmy jeszcze jeden pidkhid, zanim udowodnimy fałszywość przez 3 . Jak pokazać, że s n=3 m, n=3 m+1 і n=3 m+2, gdzie m jest więcej niż liczbą, wartość przecinka (zmiany n) jest dzielona przez 3, aby dylemat, aby wskazać 3 dla dowolnej liczby n. Spójrzmy na tę pidkhіd pіd godzinę wiśni z przodu tyłka.

w taki sposób, dla dowolnego naturalnego n podzielnego przez 3 .

Sugestia:

Więc.

Spis literatury.

Vilenkin N.Ya. że w matematyce. Klasa 6: asystent za zagalnosvitnіh zakladіh.
Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
Michelowicz Sz.Kh. Teoria liczb.
Kulikov L.Ya. to w. Zbiór problemów z algebry i teorii liczb: Przewodnik dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych

Tsya statya ujawnia zmysłowe oznaki autentyczności na 6 . Bude zaprovadzheno yogo formularyuvannya z rozwiązanie niedopałków. Poniżej udowodnimy oznaki fałszerstwa na 6 tyłkach deyaky wyrażeń.

Znak podzielności dla 6, tyłek

Wzór na znaki podzielności przez 6 zawiera znak podzielności przez 2 i 3: więc liczba kończy się liczbami 0, 2, 4, 6, 8, a suma cyfr jest dzielona bez nadmiaru przez 3, co oznacza że taka liczba jest podzielona przez 6; na dzień, jeśli chcesz poznać podaną liczbę o 6, nie udostępniaj jej. W przeciwnym razie liczba zostanie podzielona przez 6, jeśli zostanie podzielona przez 2 i 3.

Zastosuvannya oznaki autentyczności dla 6 kroków na 2 etapach:

ponowna weryfikacja podzielności przez 2, aby liczba mogła kończyć się przez 2 dla oczywistej podzielności przez 2, dla obecności liczb 0, 2, 4, 6, 8 np. liczba przeszła na niemożliwość 6;
ponowna weryfikacja podzielności przez 3, ponadto ponowna weryfikacja następuje po dodatkowym podziale sumy cyfr liczby przez 3 bez nadmiaru, co oznacza możliwość podzielności liczby całkowitej przez 3; Z poprzedniego punktu widać, że liczba jest dzielona przez 6, odłamki są liczone i dzielone przez 3 i 2.

tyłek 1

Odwrotnie, jak liczba 8813 może być podzielna przez 6?

Rozwiązanie

To oczywiste, że należy szanować swój szacunek do ostatniej cyfry. Więc jak 3 nie dzieli się na 2, dźwięk krzyczy, że jeden umysł nie bije. Wyjdź, że podanej liczby nie można podzielić przez 6.

Sugestia: nie.

tyłek 2

Dowiedz się, jak możesz podzielić liczbę 934 przez 6 bez zbytniego udziału.

Rozwiązanie

Sugestia: nie.

tyłek 3

Sprawdź autentyczność na 6 dzień - 7 269 708.

Rozwiązanie

Przechodzimy do pozostałej cyfry liczby. Oskіlki її znachennya dorivnyuє 8, wtedy można dodać pierwszy umysł, więc 8 dzieli się przez 2. Przejdźmy do ponownego sprawdzenia umysłu innego umysłu. Dla którego magazynu dodajemy cyfry o podanym numerze 7+2+6+9+7+0+8=39. Widać, że 39 dzieli się przez 3 bez nadmiaru. Tobto jest dopuszczalne (39: 3 = 13). Jest oczywiste, że padną obelgi, co oznacza, że podaną liczbę podzielimy przez 6 bez nadmiaru.

Sugestia: tak, udostępnij.

Aby odwrócić dylemat o 6, możesz vikonati bez pośrednika rozpodil na numer 6 bez reweryfikacji, znak dylematu na nowy.

Dowód autentyczności dla 6

Przyjrzyjmy się dowodom oznak fałszerstwa na 6 umysłach koniecznych i wystarczających.

Twierdzenie 1

Aby liczba a była podzielna przez 6, jest konieczne i wystarczające, aby liczba była podzielna przez 2 i 3.

Dowód 1

Konieczne jest sprowadzenie tyłu głowy, aby podzielność liczby a przez 6 zmieniła jej dylimację o 2 i 3. Wybór potęgi podzielności: jeśli liczba całkowita jest podzielona przez b, to dodanie m a od m, które jest liczbą całkowitą, jest również dzielone przez b.

Jest oczywiste, że dzieląc a przez 6, możesz wygrać potęgę podzielności, aby pokazać zrównoważenie jak a = 6 · q, de q є pierwsza duża liczba. Utwórz taki rekord, aby obecność mnożnika dawała gwarancję, że zostanie on podzielony na 2 i 3. Przyniesiono konieczność.

Aby ponownie udowodnić podzielność przez 6 kroków, przynieś wystarczalność. Dla kogo należy doprowadzić, że liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, jest podzielna przez 6 bez nadmiaru.

Niezbędne opracowanie głównego twierdzenia arytmetyki. Możliwe jest uzyskanie podzielnej przez liczbę pierwszą p liczby mnogiej liczby dodatniej, a nie równej 1, jeśli tylko jeden mnożnik ma być podzielny przez p.

Możliwe jest, że liczbę całkowitą a można podzielić przez 2 lub mniej więcej liczbę q , jeśli a = 2 · q . Ce viraz dzieli się przez 3, de 2 · q dzieli się przez 3. Oczywiście 2 na 3 nie jest dzielony. Z twierdzenia wynika, że q może być podzielne przez 3 . Ważne jest, aby liczba q 1 de q \u003d 3 · q 1 była liczbą całkowitą. Ponownie niejednorodność postaci a = 2 q = 2 3 q 1 = 6 q 1 mów o tych, których liczba a jest podzielna przez 6. Dostatek przyniósł.

Іnshі vypadki podіlnostі 6

W tym momencie rozważane są metody i dowody fałszywości dla 6 zmian. Czas więc przenieść inną metodę rozwiązania. Może być stanowczy: jeśli jeden z wielu mnożników w stworzeniu jest dzielony przez podaną liczbę, to cała tvir jest dzielona przez tę samą liczbę. W przeciwnym razie, w zależności od podanego wyrażenia, jeśli chcesz podzielić jeden z mnożników przez 6, wszystko będzie podzielne przez 6.

Łatwiej jest podążać tą drogą dla dodatkowego podstawienia wzoru dwumianowego Newtona.

tyłek 4

Co istotne, chi viraz 7 n - 12 n + 11 jest podzielne przez 6.

Rozwiązanie

Wyobraźmy sobie liczbę 7 jaka sumi 6 + 1 . Musimy napisać formularz 7 n - 12 n + 11 \u003d (6 + 1) n - 12 n + 11. Rozwiążmy wzór dwumianowy Newtona. Czy mogę przerobić, sho

7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 = = (C n 0 6 n + C n 1 6 n - 1 + .. + + C n n - 2 6 2 1 n - 2 + C n n - 1 6 1 n - 1 + C n n 1 n) - 12 n + 11 = = = (6 n + C n 1 6 n - 1 + .. + C n n - 2 6 2 + n 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 6 n - 1 +. . . + C n n - 2 6 2 - 6 n + 12 = = 6 (6 n - 1 + C n 1 6 n - 2 + . . + C n n - 2 6 1 - n + 2)

Odejmowana tvir jest dzielona przez 6, ponieważ jeden z mnożników jest równy 6. Zvіdsi vyplivaє, scho może być całkowitą liczbą naturalną, ponadto zadania można podzielić przez 6.

Sugestia: więc.

Jeśli zadajesz sobie pytanie za pomocą wielomianu, następnym krokiem jest przekształcenie. Bachimo, który jest niezbędny do rozłożenia bogatego członka na mnożniki. Ważne, żebym zmienił n, w przyszłości zapiszę tak: n = 6 m, n = 6 m + 1, n = 6 m + 2, …, n = 6 m + 5, liczba m to cyl. Jako dylemat w przypadku skóry n matima sens, dylemat danej liczby o 6 zostanie sprowadzony do dowolnej wartości liczby całkowitej n.

tyłek 5

Przynieś, scho be - jaka jest wartość liczby całkowitej n viraz n 3 + 5 n podziel przez 6 .

Rozwiązanie

W przypadku kolby możliwe jest rozłożenie na mnożniki zadań viraz i, możliwe jest, że n 3 + 5 n \u003d n · (n 2 + 5). Jeśli n = 6 m, to n (n 2 + 5) = 6 m (36 m 2 + 5) . Oczywiste jest, że obecność mnożnika liczby 6 dowodzi, że można ją podzielić przez 6, niezależnie od liczby całkowitej m.

Podobnie jak n = 6 m + 1, możemy

n (n 2 + 5) = (6 m + 1) 6 m + 1 2 + 5 = = (6 m + 1) (36 m 2 + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) 6 (6m2 + 2m+1)

Twir zostanie podzielony przez 6, za to jest mnożnik, za to jest 6.

Jeśli n = 6 m + 2, to

n (n 2 + 5) = (6 m + 2) 6 m + 2 2 + 5 = = 2 (3 m + 1) (36 m 2 + 24 m + 4 + 5) = = 2 (3 m + 1 ) 3 (12 m 2 + 8 m + 3) = = 6 (3 m + 1) (12 m 2 + 8 m + 3)

Viraz będzie podzielny przez 6, odłamki rekordu mogą być mnożnikiem 6.

W tej samej kolejności liczę dla n \u003d 6 m + 3, n \u003d 6 m + 4 i n \u003d 6 m +5. Oczywiste jest, że zadania zostaną podzielone przez 6 dla dowolnej wartości n.

Przyjrzyjmy się teraz zastosowaniu rozwiązania dodatkowej metody indukcji matematycznej. Rozwiązanie Bude zrobleno dla umysłów pierwszego tyłka.

tyłek 6

Aby przynieść, że umysł 7 n - 12 n + 11 zostanie podzielony na 6 de priyme be-yakі tsіli znachenya virazu.

Rozwiązanie

Duński tyłek jest wykonany metodą indukcji matematycznej. Algorytm vikonaemo suvoro pokrokovo.

Sprawdźmy ponownie tożsamość wirusa o 6 przy n = 1. Wtedy przyjrzymy się 7 1 - 12 · 1 + 11 = 6. Jest oczywiste, że 6 będzie się dzielić samo w sobie.

Weźmy n = k jako wyrażenie zewnętrzne. Jeśli nie będzie podzielne przez 6, to można przyjąć, że 7k - 12k + 11 będzie podzielne przez 6.

Przejdźmy do dowodu podziału przez 6 w postaci 7 n - 12 n + 11 dla n = k + 1 . Ważne jest, aby sprowadzić podział do 7 k + 1 - 12 (k + 1) + 11 do 6, ponadto skorygować te, które 7 k - 12 k + 11 są podzielone przez 6.

7 k + 1 - 12 (k + 1) + 11 = 7 7 k - 12 k - 1 = = 7 (7 k - 12 k + 11) + 72 k - 78 = = 7 (7 k - 12k + 11) + 6 (12k - 13)

Oczywiście, jeśli pierwsze dodawanie będzie podzielne przez 6, to 7 k - 12 k + 11 będzie podzielne przez 6 . Kolejny dodatek również jest dzielony przez 6, ponieważ jeden z mnożników jest równy 6. Zvіdsi robimo visnovok, scho cały umysł do końca, a to oznacza, że cała suma jest podzielona przez 6.

Metoda indukcji matematycznej sprowadzająca zadania w postaci 7 n - 12 n + 11 będzie podzielna przez 6, jeśli n przyjmie wartość liczby naturalnej.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Etkarowa Alina

Ostateczny projekt wstępny do klasy 6

Zavantage:

Przedni widok:

Regionalna konferencja naukowa naukowców

Sekcja „Matematyka”

„Oznaki autentyczności liczb naturalnych”

Etkarowa Alina,

Uczeń 6 klasy

Dworzec kolejowy DBOU ZOSH Navantagewalna

Kurator naukowy:

Stiepanowa Galina Oleksiwna

nauczyciel matematyki

Dworzec kolejowy DBOU ZOSH Navantagewalna

S. Kiszkiu

Wpis………………………………………………………………………...3

1. Rozdział 1. Trochy historii ……………………………………………….4 -5

2. Split 2. Oznaki autentyczności

5 - 6

2.2. Znaki podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, odejmowanie niezależnie…………………………………………………..6-7

2.3. Oznaki zaciemnienia w 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, opisane w różnych gerelach .................................. ...................................................... ....................................8-11

3. Rozdział 3 ............................................. ....................11-14

Visnovok. …………………………………………………………..piętnaście

Spis literatury pisanej……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………

Wejście

Znaczenie: W ciągu godziny poznawania tematów: „Znaki podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9, 10” odżywianie podzielności liczb uległo zmniejszeniu. Najwyraźniej więcej niż jedną liczbę naturalną można bez nadmiaru podzielić przez inną liczbę naturalną. Kiedy dzielimy liczby naturalne, bierzemy nadwyżkę, pozwalamy na ułaskawienie, w efekcie - spędzamy godzinę. Oznaki podzielności bez wątpienia pomagają ustalić, że chi rozszerza jedną liczbę naturalną. Musiałem napisać następną pracę z tematami tsієї.

Hipoteza: Jeżeli można przypisać dylemat liczb naturalnych 2, 3, 5, 9, 10, to znaki są należne, za co można przypisać dylemat liczb naturalnych i innych liczb.

Obiekt uzupełniający:Podіlnіst liczb naturalnych.

Przedmiot zapytania:Oznaki autentyczności liczb naturalnych.

Cel: Uzupełnij już oznaki podzielności liczb naturalnych w skali kraju, jak ja wredna.

Menedżer:

Zobacz historiografię żywienia.
Powtórz oznaki fałszerstwa 2, 3, 5, 9, 10, jakbym była niegrzeczna w szkole.
Kontynuuj niezależnie znaki ważności liczb naturalnych o 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Spójrz na literaturę uzupełniającą, która potwierdza słuszność hipotezy o stosowaniu innych znaków podzielności liczb naturalnych i słuszności ujawnionych znaków podzielności.
Wypisz oznaki fałszerstwa liczb naturalnych na 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 z literatury uzupełniającej.
Zrobiti visnovok.
Zrób prezentację slajdową na temat: Oznaki podzielności.
Złóż broszurę „Znaki fałszerstwa liczb naturalnych”.

Nowość:

W trakcie realizacji projektu zdobyłem wiedzę na temat znaków podzielności liczb naturalnych.

metody kontrolne:Dobór materiału, przetwarzanie danych, ostrożność, wyrównanie, analiza, agregacja.

Sekcja 1. Nie bogaty w historię.

Znak podzielności to reguła, która bez odejmowania podziału może służyć do wskazania, że jedną liczbę naturalną można podzielić w inny sposób. Oznaki podzielności zawsze tykały w różnych regionach świata i godzinach.

Znaki autentyczności na 2, 3, 5, 9, 10 były staromodne. Znak podzielności dla 2 był znany starożytnym Egipcjanom 2 tysiące lat przed naszą erą, a znaki podzielności dla 2, 3, 5 zostały wprowadzone przez włoskiego matematyka Leonardo Fibonacciego (1170-1228).

Wraz z wprowadzeniem tematów: „Po prostu to magazynowanie liczb”, żywienie dotyczące składania tablic liczb pierwszych stało się mniej ważne, aby liczby pierwsze odgrywały ważną rolę w obliczaniu wszystkich liczb. Wydaje się, że w tym samym czasie poczęła się doktryna Oleksandra Eratostenesa, żyjącego w III wieku p.n.e. Metoda Yogo składania listy liczb pierwszych została nazwana „sitem Eratostenesa”. Daj mi znać wszystkie proste liczby do 100. Zapiszmy wszystkie liczby do 100.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Po wypełnieniu liczby 2 uzupełnimy wszystkie pozostałe pary liczb. Pierwsza użyta liczba po 2 będzie 3. Teraz, po uzupełnieniu liczby 3, zablokujemy liczby, które zostaną podzielone przez 3. Następnie dodamy liczby, które zostaną podzielone przez 5. W rezultacie wszystkie numery magazynowe pojawią się w niedzielę i zostaną utracone tylko proste liczby: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Dla tej metody , możesz dodać listy liczb pierwszych, Wielka 100.

Potęgę podzielności liczb przyglądali się pitagorejczycy. Teoretycznie wykonali wielką pracę nad typologią liczb naturalnych. Pitagorejczycy podzielili się nimi z klasą. Widziano klasy: liczby doskonałe (liczba cenniejszych sum własnych dilników, na przykład: 6=1+2+3), liczby przyjazne (skóra niektórych cenniejszych sum dilnikіv іnshoy, na przykład 220 i 284: 284 =1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110;220=1+2+4+71+142), liczby kręcone (liczba trójka, kwadrat), liczby pierwsze i w .

Blaise Pascal Pitagoras. Leonardo z Pizansky Eratostenes

(Fibonacciego)

Wielki depozyt w winnicy świadczy o podzielności liczb zasianych przez Blaise'a Pascala (1623-1662). Junius Blaise pokazał wczesne matematyczne zdibnosti, ucząc się czytać wcześniej, czytać niżej. Vzagali, tyłek jogi - tse klasyczny vapadok dziecięcy geniusz matematyczny. Swój pierwszy traktat matematyczny „Dowód teorii ostatecznych poprawek” napisał od 24 lat. Mniej więcej o tej samej godzinie skonstruował mechaniczną maszynę sumującą, prototyp maszyny sumującej. W początkowym okresie jego twórczości (1640-1650) wielu naukowców znało algorytm rozpoznania znaku podzielności dowolnej liczby całkowitej na dowolną inną liczbę, dla którego znaki prywatne powinny być wypisane. Znak Yogo polagє w ofensywie: liczba naturalna a podziel na inną liczbę naturalną b to mniej dla tego, jak suma tworzenia cyfr liczby a na nadwyżkach vodpovidnі, wygranych, gdy rozpodіlі razryadnyh odiny na liczbę b, dіlitsya th numer.

W tym oznaki fałszerstwa pochodziły od dawnych matematyków.

Rozdział 2

2.1 Znaki podzielności liczb naturalnych, z których korzystają uczniowie.

Przy ślubowanych wartościach konieczne jest, aby znali rozumienie dilnika, liczb wielokrotnych, prostych i magazynowych.

dilnik naturalna ilość a nazwij liczbę naturalną b, na jaka a dzielić się bez nadmiaru.

Często twierdzenia o ważności liczby a liczba b jest wyrażona innymi równoważnymi słowami: a jest wielokrotnością b, b jest dilnik a, b jest podzielne przez a.

Wybaczcie, liczby naturalne są wywoływane, jakby były dwa dilnika: 1 i sama liczba. Na przykład liczby 5,7,19 są proste, ponieważ podzielić przez 1 i siebie.

Liczby, które wydają się być powyżej dwóch dilników, nazywane są numerami giełdowymi. Na przykład cyfra 14 maja 4 dilnik: 1, 2, 7, 14 oznacza brak w magazynie.

W tym .....

2.2 Znaki podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, odejmowanie niezależnie.

Obserwując linię podziału, mnożąc liczby naturalne, strzegąc wyników majsterkowania, znałem prawa i usuwałem takie znaki autentyczności.

Znak podzielności dla 4.

25 4 = 100; 56 4 = 224; 123 4 = 492; 125 4 = 500; 2345 4 = 93 80; 2500 4 = 100 00;

Mnożąc liczby naturalne przez 4, przypomniałem sobie, że liczby utworzone z dwóch pozostałych cyfr liczby są dzielone przez 4 bez nadmiaru.

Znak podzielności dla 4 brzmi następująco: rok naturalny

Znak podzielności dla 6.

Z poważaniem, 6 = 2 3 Znak tożsamości dla 6: Jeśli liczba naturalna jest podzielna w tym samym czasie przez 2 i przez 3, to jest podzielna przez 6.

Stosować:

216 jest podzielne przez 2 (kończy się na 6) i podzielne przez 3 (8+1+6=15, 15?3), więc liczba jest podzielna przez 6.

Znak podzielności dla 8.

Mnożąc liczbę naturalną przez 8, zauważyłem ten wzór, liczby kończą się trzema 0 lub pozostałe trzy cyfry stają się liczbą, jak dzielenie przez 8.

Znak Otzhe w ten sposób. rok naturalny

Znak podzielności dla 15.

Z poważaniem, 15 = 3 5

Stosować:

Znak podzielności na 25.

Mnożąc różne liczby naturalne przez 25 wypracowałem następującą zasadę: twórz końce na 00, 25, 50, 75.

Więc naturalnie liczba jest podzielna przez 25 i kończy się na 00, 25, 50, 75.

Znak dylimacji o 50.

Liczby podzielone przez 50: 50, 1

Znaczyć, liczba naturalna jest podzielna przez 50 i więcej, jeśli kończy się dwoma zerami lub 50.

Jeżeli np. liczba naturalna, są kolumny i zera, liczby są w jednej jednostce, to cała liczba jest dzielona przez jedną jednostkę.

Stosować:

25600 podzielone przez 100, ponieważ liczby kończą się taką samą liczbą zer. 8975000 podzielone przez 1000 od Obraźliwe numery kończą się na 000.

W szczególności sądząc po liczbach i odnotowując prawidłowości formułowałem znaki podzielności i z literatury uzupełniającej wiedziałem, że znak podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 100 został przeze mnie poprawnie sformułowany.

2.3 Znaki podzielności liczb naturalnych przez 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, opisane w różnych dzherelach.

Z literatury dodatkovoї znany był znak kіlka podzielności liczb naturalnych przez 7.

P Dylimacja detaliczna na 7:

Stosować:

479345 niepodzielne przez 7, ponieważ 479-345 = 134, 134 nie jest podzielne przez 7.

Stosować:

4592 podzielone przez 7, ponieważ 45 2 = 90, 90 +92 = 182, 182 podzielone przez 7.

57384 jest dzielone przez 7, ponieważ 573 2 = 1146, 1146 +84 = 1230.1230 niepodzielne przez 7

aba

Stosować:

beczenie

Stosować:

aab

Stosować:

beczenie

Stosować:

10׃7=1 (zup 3)

100׃7=14 (zup 2)

1000׃7 = 142 (odpoczynek 6)

10000׃7 = 1428 (zup 4)

100000׃7=14285 (pozostałe 5)

6+3 2+1 3 +6 = 21, 21/7

Liczba 354722 nie jest podzielna przez 7, ponieważ 3 5 +5 4 +4 6 +7 2 +2 3 +2 = 81, 81 nie dzielone przez 7 7; 6-odp. na płycie 1000 przez 7; 2-odp. na płycie 100 przez 7; 3-odpoczynek.

Znaki podziału dla 11.

Krupon:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Stosować:

Znak podzielności dla 12.

Stosować:

Znaki podziału na 13.

Stosować:

Znak podzielności na 14.

Stosować:

Liczba 35882 jest dzielona przez 2 i 7, ale jest również dzielona przez 14.

Znak podzielności na 19.

Stosować:

153 4

182 4 182 +4 2 = 190, 190/19, później numer 1824/19.

Oznaki autentyczności na 37.

Krupon:

V.o., w Wszystkie przeniesione znaki podzielności liczb naturalnych można podzielić na 4 grupy:

1 grupa - jeżeli do pozostałej cyfry (їm) (mi) przypisana jest podzielność liczb (mi) - są to znaki podzielności przez 2, przez 5, przez bit jeden, przez 4, przez 8, przez 25, przez 50;

Grupa 2 - jeżeli podzielność liczb przypisana jest sumie cyfr liczby - znaki podzielności przez 3, 9, przez 7 (1 znak), przez 11, przez 37;

3. grupa - jeśli podzielność liczb jest wskazana po vikonnannya yakyhos diy nad cyframi liczby - znaki autentyczności w 7, 11, 13, 19;

Grupa 4 - jeśli oznaczenie podzielności liczby zastosovuyutsya inne oznaki podzielności - te same oznaki podzielności o 6, o 12, o 14, o 15.

Rozdział 3

Oznaki autentyczności zastosovuyutsya, gdy znane są GCD i NOC, a także gdy zamówienia tekstowe są naruszane w statusie GCD i NOC.

Zadanie 1:

Uczniów piątej klasy wykupiło 203 korepetytorów. Kożhen kupił taką samą liczbę książek. Skіlki bulo p'yatiklasnikіv i skіlki pridruchnikіv kupując od nich skórę?

Rozwiązanie: Wartości obraźliwe, jak trzeba zaznaczyć, mogą być w liczbach całkowitych, tobto. odbudź środek dilnika w liczbie 203. Rozbudowując 203 w mnożniki, bierzemy: 203 \u003d 1 ∙ 7 ∙ 29.

3 praktyczne lustra.

Sugestia:

Zadanie 2 .

Rozwiązanie:

Sugestia:

Zadanie 3: W klasie 9 do pracy kontrolnej 1/7 uczniów brało piątki, 1/3 czwórki, 1/2 trójki. Inne roboty okazały się niezadowalające. Ile z tych robotów?

Rozwiązanie:

Przyjęta jest informacja matematyczna dyrektora szkoły, liczba uczniów w klasach 84, 126 jest zbyt mała. facet. Ale z mirkuvan zdrowy gluzdu vplivaє, scho najprzyjemniejszy vіdpoviddu є numer 42.

Sugestia: 1 robot.

Zadanie 4.

Rozwiązanie: Pierwsza z tych klas może mieć: 17, 34, 51 ... - liczby będące wielokrotnościami 17. Dla drugiej klasy: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - liczby będące wielokrotnościami 9 Musimy wybrać 1 liczbę z pierwszego ciągu, a 2 to liczba drugiego tak, aby smród w sumie dał 70. Co więcej, w tych ciągach liczba członków jest mniejsza niż mała, mogą pokazać liczbę dzieci w klasie. Tse mirkuvannya znacznie przecina opcje sortowania. Para (34, 36) wydawała się jedyną opcją.

Sugestia:

Zadanie 5.

Rozwiązanie:

Sugestia:

Zadanie 6. Na tym samym terenie kursują dwa autobusy o różnych trasach. W jednym z autobusów podróż tam i z powrotem trwa trzy razy 48 minut, a w ciągu kolejnego roku 12 minut. Czy za chwilę autobusy znów zaczną kursować na tym samym placu?

Rozwiązanie:

Sugestia:

Zadanie 7 . Podana tabela:

Sugestia:

Menedżer 8.

Sugestia:

Menedżer 9.

Sugestia:

Otzhe, zdezorientował nas znak fałszerstwa liczb naturalnych o godzinie wiśniowego dnia.

Visnovok.

W trakcie pracy poznałem historię rozwoju znaku autentyczności. Sama poprawnie sformułowała znaki fałszerstwa liczb naturalnych dla 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, które znała z literatury uzupełniającej. Pratsiyuchi z różnymi dzherelami, perekonalas, który zawiera oznaki podziału liczb naturalnych (przez 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), schopotwierdził słuszność hipotezyo podstawie innych znaków autentyczności liczb naturalnych.

Z literatury uzupełniającej wiadomo było, że w godzinie jej ukończenia ustalane są ślady autentyczności liczb naturalnych.

Wiedząc, że vikoristannya więcej niż spłacana jest oznaką fałszerstwa liczb naturalnych, znacznie uprości to obliczenia, oszczędzając godzinę; w tym wyliczenie ułaskawień, aby można było pracować przez godzinę vikonanny de rozpodila. Następnym krokiem jest wskazanie, że sformułowanie czynów jest oznaką składania. Być może ten smród nie powstaje w szkole.

Zaprojektowałem materiał, który wybrałem jako broszurę, bo na lekcjach matematyki można wygrać, na zajęciach grupowych z matematyki. Nauczyciele matematyki mogą kwestionować dowolną liczbę tematów. Polecam również zapoznanie się ze swoją pracą rówieśnikom, jeśli chcesz wiedzieć więcej o matematyce, niższej niż zwykły uczeń.

Nadalі możesz spojrzeć na następujące jedzenie:

Wizja jest oznaką autentyczności;

Z'yasuvati, jakie są oznaki fałszu, jeśli chodzi o kontynuację takich małżeństw, nadal wiem?

Lista zwycięskiej literatury (dzherel):

Galkin V.A. Zadanie na temat „Znaki podzielności”.// Matematyka, 1999. - nr 5.-S.9.
Gusiew W.A., Orłow A.I., Rozental O.L. Praca magisterska z matematyki w klasach 6-8. - M.: Prosvitnitstvo, 1984.
Kaplun L.M. Na czele GCD i NOC. // Matematyka, 1999. - nr 7. - S. 4-6.
Pelman Ya.I. Matematyka - tse tsikavo! - M.: TERRA - Klub Książki, 2006.
Słownik encyklopedyczny młodego matematyka / Order. Savin A.P. - M.: Pedagogika, 1989. - S. 352.
Internet

Oznaki autentyczności

O 5.

Ta liczba kończy się na 0,5.

Na 2.

Jak liczba kończy się na 0, 2, 4, 6, 8

dnia 10.

Jak liczba kończy się na 0

o 3 (9).

Ile cyfr liczby jest podzielnych przez 3 (9).

Przedni widok:

Sugestia:

Menedżer 8.

Napisz coś w rodzaju dziewięciocyfrowej liczby, w której nie ma cyfr, które się powtarzają (wszystkie cyfry są różne) i lubią być dzielone bez nadmiaru przez 11. Napisz najwięcej tych liczb, najmniej.

Sugestia: Największy to 987652413, najmniejszy to 102347586.

Menedżer 9.

Iwan, myśląc o prostej trzycyfrowej liczbie, wszystkie liczby są innego rodzaju. Na tej samej cyfrze może się skończyć, tak że pozostała cyfra jest równa sumie dwóch pierwszych. Podaj przykłady takich liczb.

Sugestia: Możesz po prostu dokończyć numer 7. Są 4 takie liczby: 167, 257, 347, 527.

Znak podzielności dla 2

Chociaż liczba naturalna kończy się na 2, 4, 6, 8, 0, można ją bez zbytniego podzielenia przez 2.

Znak podzielności przez 5.

Jeśli liczba kończy się na 0 lub 5, można ją podzielić przez 5 bez przesady.

Znak autentyczności dla 3

Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to liczba jest podzielna przez 3.

Stosować

684:3, bo K. 6 + 8 + 4 = 18, 18: 3, czyli i liczba: przez 3.

763 nemaє: na3, ponieważ. 7 +6 +3 \u003d 16, 16 jest głupi: o 3, więc 763 jest głupi: o 3.

Znak tożsamości dla 9

Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9.

Stosować

765:9, bo 7+6+5=18, 18:9, czyli 765:9

881 nie: o 9, bo 8 + 8 + 1 \u003d 17, 17 nie jest możliwe: do 9, więc 881 nie jest możliwe: do 9.

Znak podzielności dla 4.

25 4 = 100; 56 4 = 224; 123 4 = 492; 125 4 = 500; 2345 4 = 93 80; 2500 4 = 100 00; …

rok naturalny liczba jest podzielna przez 4 mniej więcej, jeśli dwie pozostałe cyfry to 0 lub liczba jest podzielna przez 4.

Znak podzielności dla 6.

Z poważaniem, 6 = 2 3 Znak tożsamości dla 6:

Chociaż liczba naturalna jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3, jest podzielna przez 6.

Stosować:

816 jest dzielone przez 2 (kończy się na 6) i dzieli się przez 3 (8+1+6=15, 15?3), więc liczba jest dzielona przez 6.

625 nie jest podzielne przez 2, ani przez 3, ani przez 6.

2120 jest podzielne przez 2 (kończy się na 0), ale nie jest podzielne przez 3 (2+1+2+0=5, 5 nie jest podzielne przez 3), ta sama liczba nie jest podzielna przez 6.

279 jest podzielne przez 3 (2+7+9=18, 18:3), ale nie jest podzielne przez 2 (kończy się cyfrą niesparowaną), co oznacza, że liczba nie jest podzielna przez 6.

Znak podzielności dla 7.

. Liczba naturalna jest podzielna przez 7 mniej więcej niż jeden, jeśli różnica między liczbą tysięcy a liczbą wyrażoną przez pozostałe trzy cyfry jest podzielna przez 7.

Stosować:

478009 podzielone przez 7, ponieważ 478-9 = 469, 469 podzielone przez 7.

475341 niepodzielne przez 7, ponieważ 475-341 = 134, 134 nie jest podzielne przez 7.

. Liczba naturalna jest podzielna przez 7, podobnie jak suma poddwojonej liczby, która kosztuje do dziesiątek i rozwiązuje liczbę podzielną przez 7.

Stosować:

4592 podzielone przez 7, ponieważ 45 2 = 90, 90 +92 = 182, 182/7.

xv, aw następnym roku 12 xv. Czy za chwilę autobusy znów zaczną kursować na tym samym placu?

Rozwiązanie: LCM(48, 72) = 144 (xv). 144 hv \u003d 2 lata 24 hv.

Sugestia: Po 2 latach 24 min. autobusy ponownie wjadą na ten sam plac.

Zadanie 7 . Podana tabela:

Wpisz następujące liczby dla pustych komórek: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Rozwiązanie: Pierwsza z tych klas może mieć: 17, 34, 51 ... - liczby będące wielokrotnościami 17. Dla drugiej klasy: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - liczby będące wielokrotnościami 9 Musimy wybrać 1 liczbę z pierwszej sekwencji , a druga liczba jest inna, aby smród w sumie dał 70. Co więcej, w tych ciągach tylko niewielka liczba członków może pokazać liczbę dzieci w klasie. Tse mirkuvannya znacznie przecina opcje sortowania. Para (34, 36) wydawała się jedyną opcją.

Sugestia: Pierwsza klasa liczy 34 uczniów, druga klasa ma 36 uczniów.

Zadanie 5.

Jak mogę znaleźć garść takich samych prezentów, czy mogę zrobić je z 320 gór, 240 zuceroków, 200 jabłek? Skilki gorіhіv, tsukerok i jabłka będą w prezencie ze skóry?

Rozwiązanie: GCD(320, 240, 200) = 40 (prezenty), wtedy prezent skórki będzie miał: 320:40 = 8 (poziomy); 240: 40 = 6 (zukerok); 200:40 = 5 (jabłka).

Sugestia: Prezent ze skóry ma 8 gorіhіv, 6 tsukerok, 5 jabłek.

Zadanie 6.

Na tym samym terenie kursują dwa autobusy o różnych trasach. W jednym z autobusów podróż powrotna trzy razy 48

57384 jest dzielone przez 7, ponieważ 573 2 = 1146, 1146 +84 = 1230, 1230 nie jest podzielne przez 7.

. Trzycyfrowa liczba naturalna aba być podzielne przez 7, więc a+b jest podzielne przez 7.

Stosować:

252 podzielone przez 7, ponieważ 2 +5 = 7, 7/7.

636 jest dzielone przez 7, ponieważ 6 +3 = 9, 9 nie jest podzielne przez 7.

IV. Trzycyfrowa liczba naturalna beczenie podzielna przez 7, ponieważ suma cyfr liczby jest podzielna przez 7.

Stosować:

455 podzielone przez 7, ponieważ 4 +5 +5 = 14, 14/7.

244 jest dzielone przez 7, ponieważ 2 +4 +4 = 12, 12 nie jest podzielne przez 7.

V. Trzywartościowa liczba naturalna aab być podzielne przez 7, więc 2a-b jest podzielne przez 7.

Stosować:

882 jest dzielone przez 7, ponieważ 8 + 8-2 = 14, 14/7.

996 jest dzielone przez 7, ponieważ 9 + 9-6 = 12, 12 nie jest podzielne przez 7.

VI. Chotir to liczba naturalna w postaci beczenie , więc liczba b-double będzie podzielna przez 7, więc b + 2a będzie podzielna przez 7.

Stosować:

2744 podzielone przez 7, ponieważ 27 +4 +4 = 35, 35/7.

1955 rok nie jest podzielony przez 7, ponieważ 19 +5 +5 = 29, 29 nie jest podzielne przez 7.

VII. Liczba naturalna jest podzielna przez 7 więcej i tylko raz, jeśli wynik wzięcia pozostałej cyfry liczby bez pozostałej cyfry jest podzielny przez 7.

Stosować:

483 podzielone przez 7, ponieważ 48-3 2 = 42, 42/7.

564 jest dzielone przez 7, ponieważ 56-4 2 = 48, 48 nie jest podzielne przez 7.

VIII. Liczba naturalna jest podzielna przez 7, a następnie, jeśli suma utworzonych cyfr liczby na podstawie redundancji zostanie uzyskana, gdy cyfry zostaną podzielone przez liczbę 7, podzielną przez 7.

Stosować:

10׃7=1 (zup 3)

100׃7=14 (zup 2)

1000׃7 = 142 (odpoczynek 6)

10000׃7 = 1428 (zup 4)

100000׃7=14285 (pozostałe 5)

1000000׃7=142857 (zost 1) i nadwyżki powtarzają się ponownie.

Liczba 1316 jest podzielna przez 7, ponieważ jeden· 6+3 2+1 3 +6 = 21, 21/7

Liczba 354722 nie jest podzielna przez 7, ponieważ 3 5 +5 4 +4 6 +7 2 +2 3 +2 = 81; 6-nadwyżka na dole 1000 na 7; 2-nadwyżka na dole 100 na 7; 3-nadwyżka na dole 10 na 7).

Liczba prezentów może być dilnikem liczb skórek, które odzwierciedlają liczbę pomarańczy, zuceroka i gór, co więcej, największą z tych liczb. Musi znać GCD tych liczb. GCD (60, 175, 225) \u003d 15. Skórzany prezent na mestitime: 60: 15 \u003d 4 - pomarańcze,175: 15 \u003d 11 - gorący i 225: 15 \u003d 15 - zukerok.

Sugestia: W jednym prezencie - 4 pomarańcze, 11 gór, 15 zuceroków.

Zadanie 3: W klasie 9 do pracy kontrolnej 1/7 uczniów brało piątki, 1/3 czwórki, ½ trójki. Inne roboty okazały się niezadowalające. Ile z tych robotów?

Rozwiązanie: Rozwiązywanie problemów może być liczbą będącą wielokrotnością liczb: 7, 3, 2. Znamy najmniejszą liczbę takich liczb. NOK (7, 3, 2) \u003d 42. Możesz zsumować wynik zadania umysłowego: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) \u003d 1 - 1 nieudane.

Dozwolone są matematyczne definicje ustawienia problemu, ale liczba uczniów w klasach 84, 126 jest zbyt mała. facet. Ale z mirkuvan zdrowy gluzdu vplivaє, scho najprzyjemniejszy vіdpoviddu є numer 42.

Sugestia: 1 robot.

Zadanie 4.

Dwie klasy liczą jednocześnie 70 uczniów. W jednej klasie 7/17 uczniów nie pojawiło się na zajęcia, aw innej 2/9 odebrało odznaki z matematyki. Ile badań w klasie skóry?

Stosować:

25600 podzielone przez 100, ponieważ liczby kończą się taką samą liczbą zer.

8975000 podzielone przez 1000 od Obraźliwe numery kończą się na 000.

Zadanie 1: (Vikoristannya spilnykh dilnikov, że NOD)

Klasę Uchni 5 „A” kupiło 203 asystentów. Kożhen kupił taką samą liczbę książek. Skіlki bulo p'yatiklasnikіv i skіlki pridruchnikіv kupując od nich skórę?

Rozwiązanie: Wartości obraźliwe, jak trzeba zaznaczyć, mogą być w liczbach całkowitych, tobto. rebuvat mid-dilnikov numer 203. Deklarując 203 dla mnożników, weźmiemy:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

3 praktyczne lustranastępnie, że asystenci mogą mieć 29. więc liczba asystentów jest niemożliwa do zwiększenia1, ponieważ 203 dla każdego typu ucznia..

Sugestia: 29 piątoklasistów; 7 asystentów

Zadanie 2 . Є 60 pomarańczy, 165 gór i 225 zuceroków. Jaka jest największa ilość takich samych prezentów dla dzieci, które można wykonać z magazynu? Co widzisz przed zestawem do pielęgnacji skóry?

Rozwiązanie:

Znak podzielności dla 8.

125 8 = 1000; 242 8 = 1936; 512 8 = 4096; 600 8 = 4800; 1234 8 = 9872; 122875 8 = 983 000;

rok naturalny liczba podzielna przez 8 tylko i tylko wtedy, gdy pozostałe trzy cyfry są podzielne przez 0 lub ustaw liczbę podzielną przez 8.

Znaki podziału dla 11.

I. Liczba jest podzielna przez 11, ponieważ różnica między sumą cyfr na niesparowanych miejscach a sumą cyfr na sparowanych miejscach jest wielokrotnością 11.

Handel detaliczny może być liczbą ujemną lub 0, ale może być wielokrotnością 11. Numeracja idzie w prawo.

Krupon:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nie jest wielokrotnością 11, więc cała liczba jest podzielna przez 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 jest wielokrotnością 11, znowu cała liczba jest podzielna przez 11.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nie jest wielokrotnością 11, więc cała liczba jest podzielna przez 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 jest wielokrotnością 11, znowu cała liczba jest podzielna przez 11.

II. Liczba naturalna jest łamana prawostronnie na grupy po 2 cyfry w skórze i dodawane są numery grupy. Jeśli suma jest wielokrotnością 11, to próbkowana liczba jest wielokrotnością 11.

Przykład: Znacząco, liczba 12561714 jest podzielna przez 11.

Numer róży w grupach dwucyfrowych dla skóry: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 jest podzielne przez 11, więc cała liczba jest podzielna przez 11.

III. Trzycyfrowa liczba naturalna jest podzielna przez 11, ponieważ suma cyfr dosłownych liczby jest równa cyfrom w pobliżu środka. Vidpov_d spasował z cichych numerów.

Stosować:

594 podzielone przez 11, ponieważ 5+4=9, 9-w środku.

473 podzielone przez 11, ponieważ 4+3=7, 7- w środku.

861 dzieli się przez 11, ponieważ 8+1=9, a środek to 6.

Znak podzielności dla 12.

Liczba naturalna jest podzielna przez 12, a następnie, jeśli jest podzielna przez 3 i 4 jednocześnie.

Stosować:

636 jest dzielone przez 3 i 4 i znowu dzieli się przez 12.

587 nie jest dzielony przez 3 ani przez 4, ani nie jest dzielony przez 12.

27126 nie jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 4, ale nie jest podzielne przez 12.

Oznaki autentyczności na 37.

I. Liczba naturalna jest podzielna przez 37, podobnie jak suma liczb, które składają się z trójek cyfr liczby dziesiątej w wpisie dziesiątym, jest podobnie dzielona przez 37.

Przykład: Znacząco, liczba 100048 jest podzielna przez 37.

100/048 100+48=148, 148 jest podzielne przez 37, znowu liczba jest podzielna przez 37.

II. Trzycyfrowa liczba naturalna, zapisana tymi samymi cyframi, podzielna przez 37.

Krupon:

Liczby 111, 222, 333, 444, 555, ... są podzielone przez 37.

Znak autentyczności za 25

Liczba naturalna jest podzielna przez 25, ale kończy się na 00, 25, 50, 75.

Znak dylimacji o 50.

Liczby podzielone przez 50: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Smród skończy się albo 50 albo 00.

Liczba naturalna jest podzielna przez 50 i więcej, jeśli kończy się dwoma zerami lub 50.

Skonsolidowana odznaka autentyczności za 10, 100, 1000, …

Jeżeli np. liczba naturalna, są kolumny i zera, kolumny są w jednostce rangi, to liczbę całkowitą dzieli się przez rangę tsyu-

dobrze sam.

Znaki podziału na 13.

I. Liczba naturalna jest podzielna przez 13, tak jak różnica między liczbą tysięcy a liczbą pozostałych trzech cyfr jest podzielna przez 13.

Stosować:

Liczba 465 400 jest podzielna przez 13, ponieważ 465 - 400 = 65, 65 podzielone przez 13.

Liczba 256184 nie jest podzielna przez 13, ponieważ 256 - 184 = 72, 72 nie jest podzielne przez 13.

II. Liczba naturalna jest podzielna przez 13, a następnie, jeśli wynik pozostałej cyfry pomnożony przez 9, ta liczba bez pozostałej cyfry jest podzielna przez 13.

Stosować:

988 podzielone przez 13, ponieważ 98 - 9 8 = 26, 26 podzielone przez 13.

853 nie jest dzielone przez 13, ponieważ 85 - 3 9 = 58, 58 nie jest podzielne przez 13.

Znak podzielności na 14.

Liczba naturalna jest podzielna przez 14, a następnie, jeśli jest podzielna przez 2 i 7 jednocześnie.

Stosować:

Liczba 45826 nie jest podzielna przez 2, ale nie jest podzielna przez 7, ale nie jest podzielna przez 14.

Liczba 1771 jest podzielna przez 7, ale nie jest podzielna przez 2, ale nie jest podzielna przez 14.

Znak podzielności dla 15.

Z poważaniem, 15 = 3 5.Chociaż liczba naturalna jest dzielona jednocześnie przez 5 i 3, jest dzielona przez 15.

Stosować:

346725 jest dzielone przez 5 (kończy się na 5) i dzieli się przez 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), ta sama liczba jest dzielona przez 15.

48732 jest podzielne przez 3 (4 +8 +7 +3 +2 = 24, 24:3), ale nie jest podzielne przez 5, więc liczba nie jest podzielna przez 15.

87565 jest dzielone przez 5 (kończy się na 5), ale nie jest dzielone przez 3 (8+7+5+6+5=31, 31 nie jest dzielone przez 3), ta sama liczba nie jest dzielona przez 15.

Znak podzielności na 19.

Liczba naturalna jest podzielna przez 19 bez nadmiaru, a jeśli jest ich więcej niż dziesięć, składana z podcyfrą 1 jest podzielna przez 19.

Należy zauważyć, że liczba dziesiątek w liczbie wymagania nie jest liczbą w kolejności dziesiątek, ale całkowitą liczbą dziesiątek w liczbie całkowitej.

Stosować:

153 4 dziesiątki-153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 nie jest podzielne przez 19, więc i 1534 nie jest podzielne przez 19.

182 4 182 +4 2 = 190, 190:19, później numer 1824:19.

Kolej DBOU ZOSH Sztuka. Navantagewalna

Oznaki autentyczności

NATURALNY

NUMER

Opracowane przez Etkareva Alinę.

2013 rok

Przejdźmy do przyjrzenia się tym „Znakom autentyczności na 4”. Sformułujemy znaki, udowodnimy to, przyjrzymy się głównej aplikacji zadania. Na przykład podzieliliśmy liczby dotyczące podejść, abyśmy mogli zatrzymać się w cichych sytuacjach, jeśli musimy doprowadzić do podziału liczb na 4, podane przez dosłowną virasę.

Znak podzielności dla 4, butt

Możemy obrać prostą ścieżkę i dodać jednowartościową liczbę naturalną przez 4, aby sprawdzić, czy ta liczba jest podzielna przez 4 bez nadmiaru. Można również znaleźć z dwucyfrowymi, trójcyfrowymi i w. liczby. Prote, im bardziej numery się topią, tym bardziej złożone jest prowadzenie z niego pamiętnika za pomocą jednej metody sprawdzania autentyczności їх y 4.

Odznakę autentyczności łatwiej zdobyć o 4. W przeniesieniu ponownej weryfikacji podzielności jednej lub dwóch pozostałych cyfr liczby całkowitej 4 . Co to znaczy? Tse oznacza, że gdy liczba a zostanie podzielona przez 4 w tym przypadku, tak jak jedna lub dwie skrajne prawe cyfry zapisu liczby a są dzielone przez 4. Jeżeli liczba dodana z dwóch skrajnych prawych cyfr liczby a nie jest podzielna przez 4 bez nadmiaru, to liczba a nie jest podzielna przez 4 bez nadmiaru.

tyłek 1

Yaki z numerami 98 028 , 7 612 ta 999 888 777 być podzielne przez 4?

Rozwiązanie

Skrajne prawe cyfry liczb − 98028, 7612 sumują liczby 28 i 12, które można bez nadmiaru podzielić przez 4. Tse oznacza, że liczby są − 98028, 7612? być podzielne przez 4 bez nadmiaru.

We wpisie numeru pozostań dwie cyfry 999 888 777 zatwierdzić liczbę 77, aby nie dzielić przez 4 bez nadmiaru. Tse oznacza, że liczby nie można podzielić przez 4 bez nadmiaru.

Sugestia:− 98 028 i 7 612 .

Jakby przed cyfrą w rekordzie liczby є 0, musimy zobaczyć to zero i podziwiać skrajną prawą liczbę, która została pominięta w rekordzie. Wyjdź, dwie cyfry 01 są zastępowane przez 1. A teraz, jeden po drugim, który gubimy, robimy visnovki o te, które rozszerzają ostatnią liczbę o 4.

tyłek 2

liczba chi 75 003 і − 88 108 dla 4?

Rozwiązanie

Pozostałe dwie cyfry liczby 75 003 - bachimo 03 . Jeśli trafisz zero, pozostanie w nas liczba 3, więc nie możemy podzielić przez 4 bez zbytniego obciążenia. Tse oznacza, że nie ma liczby 75 003 4 bez za dużo nie da się podzielić.

Teraz weź dwie pozostałe cyfry liczby − 88 108 . Tse 08, dla którego możemy pominąć resztę liczby 8. 8 podzielone przez 4 bez nadmiaru.

Tse oznacza, że nie ma liczby − 88 108 możemy zmniejszyć o 4 bez zbytniego.

Sugestia: 75 003 niepodzielne przez 4, ale − 88 108 - dzielić.

Liczby, które na przykład mają dwa zera, są również podzielne przez 4 bez nadmiaru. Na przykład 100 dzieli się przez 4, wychodzi 25. Zasada mnożenia liczby przez 100 pozwala nam stwierdzić prawdziwość tego twierdzenia.

Można sobie wyobrazić, że wystarczy bogato znacząca liczba a, zapis takiej praworęcznej osoby kończy się dwoma zerami, jak twer 1 100, numer de 1 wpisać od liczby a, tak aby rekord dla praworęcznych zawierał dwa zera. Na przykład 486700 = 4867 100.

Tvir 1 100 zemścij mnożnik 100, który jest podzielony przez 4. Tse oznacza, że tse hover twir dzieli się przez 4 .

Dowód autentyczności dla 4

Wyobraź sobie, że jesteś liczbą naturalną a na widok zazdrości a = a1 100 + a0 w jakiej liczbie 1- cały numer a, z którego ewidencji usunięto dwie pozostałe cyfry oraz liczbę 0- wszystkie dwie skrajne prawe cyfry z wpisu numeru a. Jeśli wygrasz określone liczby naturalne, równoważność matimy wygląda na nieokreśloną. Dla liczb jedno- i dwucyfrowych a = a0.

Spotkanie 1

Teraz przechodzimy do potęgi dylematu:

numer podmodułu a na module liczby b jest konieczne i wystarczające, aby liczba a liczba b została rozłożona na tarczy;
jeśli w równości a = s + t wszystkie człony, z wyjątkiem jednego, są dzielone przez liczbę b, to cały brakujący członek jest dzielony przez liczbę b.

Teraz, odświeżywszy pamięć o koniecznej mocy ciemności, przeformułujemy dowód znaków ciemności przez 4 jako konieczny i wystarczający umysł ciemności przez 4.

Twierdzenie 1

Dwie pozostałe cyfry przy zapisie liczby a podzielił przez 4 - co jest konieczne, aby podzielić liczbę całkowitą a przez 4.

Dowód 1

Odpuść, sho a = 0, Twierdzenie o dowodzie nie jest wymagane. Aby rozwiązać liczby całkowite a, możemy obliczyć moduł liczby a, która jest liczbą dodatnią: a \u003d a 1 100 + a 0

Do poprawy tego, co jest tvir 1 100 zawsze podzielna przez 4, a także wraz z poprawą potęgi podzielności, jak podaliśmy więcej, możemy opracować takie stwierdzenie: jeśli liczba a jest podzielna przez 4, to moduł liczby a jest podzielny przez 4, następnie z równością a \u003d a 1 100 + a 0 podążaj za tym 0 podzielna przez 4 . Więc przynieśliśmy potrzebę.

Równość a = a 1 100 + a 0 jest jasne, że moduł a jest podzielony przez 4 . Tse oznacza, że sama liczba a jest podzielna przez 4. Więc przynieśliśmy dobrobyt.

Іnshі vypadki podіlnostі 4

Przyjrzyjmy się różnicom, jeśli konieczne jest ustalenie podziału na 4 liczby całkowite podane przez wirazę dziesiętną, oblicz wartość takiego wymogu. Dla kogo możemy obrać zbliżającą się ścieżkę:

ujawnić brak viraz w obliczu produkcji dużej liczby mnożników, z których jeden będzie podzielny przez 4;
uprawiać visnovok na podstawie podzielności tego, który
4 .

Formuła dwumianu Newtona często pomaga w realizacji zadania.

tyłek 3

Chi podzielone przez 4 wartości virazu 9 n - 12 n + 7 z dowolnym naturalnym n?

Rozwiązanie

Możemy ujawnić 9 jaków sumi 8 + 1 . Daje nam to możliwość zastosowania wzoru dwumianowego Newtona:

9 n - 12 n + 7 = 8 + 1 n - 12 n + 7 = = C n 0 8 n + C n 1 8 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 8 2 1 n - 2 + C n n - 1 8 1 n - 1 + C n n 1 n - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 18 n - 1 · 1+. . . + C n n - 2 8 2 + n 8 + 1 - - 12 n + 7 = = 8 n + C n 1 8 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 8 2 - 4 n + 8 = = 4 2 8 n - 1 + 2 C n 1 8 n - 2 +. . . + 2 C n n - 2 8 1 - n + 2

Twer, jak zabraliśmy godzinę zmiany, zemścij się mnożnikiem 4, a viraz w świątyniach to liczba naturalna. Tse oznacza, że ten tvir można podzielić przez 4 bez zbytniego udziału.

Możemy upewnić się, że viraz 9 n - 12 n + 7 jest podzielne przez 4 dla dowolnego naturalnego n.

Sugestia: Więc.

Do wykonania zadania możemy również wykorzystać metodę indukcji matematycznej. Szlochaj, aby nie okazywać szacunku dla innych szczegółów analizy rozwiązania, weź duży tyłek.

tyłek 4

Powiedzmy, że 9 n - 12 n + 7 jest podzielne przez 4 dla dowolnego naturalnego n .

Rozwiązanie

Uczmy się od ustalenia, co, ze znaczeniem n=1 wartość virazu 9 n - 12 n + 7
możesz podzielić go na 4 bez dodatkowych kosztów.

Zrobione: 9 1 - 12 1 + 7 \u003d 4. 4 podzielone przez 4 bez nadmiaru.

Teraz możemy odpuścić, jakie jest znaczenie n=k wartość virazu
9 n - 12 n + 7 podzielne przez 4. W rzeczywistości użyjemy virasy 9 k - 12 k + 7, która może być podzielna przez 4.

Musimy udowodnić, że 9 n - 12 n + 7 z n=k+1 zostanie podzielony przez 4, aby ustalić, że 9k - 12k + 7 jest dzielone przez 4:

9 k + 1 - 12 (k + 1) + 7 = 9 9 k - 12 k - 5 = 9 9 k - 12 k + 7 + 96 k - 68 = = 9 9 k - 12 k + 7 + 4 24k - 17

Odjęliśmy sumę, w pierwszej dopłacie 9 9 k - 12 k + 7 dzielimy przez 4 w związku z naszymi dodatkami o tych, że 9 k - 12 k + 7 dzielimy przez 4, a druga dopłata 4 24 k - 17 rewanżuje się mnożnikiem 4 , na połączeniu z którym dzieli się przez 4. Tse oznacza, że suma jest podzielna przez 4.

Sugestia: Wykazaliśmy, że 9 n - 12 n + 7 można podzielić przez 4 dla dowolnej wartości naturalnej n przez indukcję matematyczną.

Możemy wygrać jeszcze jednego pidkhida, aby zwiększyć podział deaky viraz do 4. Tsey pidkhid przekazuje:

dowód na to, że wartość danej wirazy przy zmiennej n jest podzielna przez 4 dla n = 4 m, n = 4 m + 1, n = 4 m + 2 n = 4 m + 3, de m- cały numer;
visnovok o doprowadzeniu autentyczności tego virase do 4, niezależnie od liczby całkowitej n.

tyłek 5

Przynieś, jaka jest wartość n n 2 + 1 n + 3 n 2 + 4 dla dowolnej liczby całkowitej n podzielna przez 4 .

Rozwiązanie

Odpuść, sho n = 4 m, bierzemy:

4 m 4 m 2 + 1 4 m + 3 4 m 2 + 4 = 4 m 16 m 2 + 1 4 m + 3 4 4 m 2 + 1

Odrzuć mnożnik 4, wszystkie inne mnożniki są reprezentowane przez liczby całkowite. Tse zgadnij, aby podzielić twer przez 4.

Odpuść, sho n = 4 m + 1, bierzemy:

4 m + 1 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 + 3 4 m + 1 2 + 4 = = (4 m 1) + 4 m + 1 2 + 1 4 m + 1 4 m + 1 2 + 4

Jestem nowy w stworzeniu, któremu zabraliśmy godzinę zmiany,
mnożnik przesunięcia 4 .

Tse oznacza podzielne przez 4.

Zakładając, że n = 4 m + 2, to:

4 m + 2 4 m + 2 2 + 1 4 m + 2 + 3 4 m + 2 2 + 4 = = 2 2 m + 1 16 m 2 + 16 m + 5 (4 m + 5 ) 8 (2m2 + 2m + 1)

Tutaj twórcy odebrali mnożnik 8, który można stracić o 4. Tse oznacza, że tse tvir dzieli się przez 4.

Zakładając, że n = 4 m + 3 jest dopuszczalne:

4 m + 3 4 m + 3 2 + 1 4 m + 3 + 3 4 m + 3 2 + 4 = = 4 m + 3 2 8 m 2 + 12 m + 5 2 2 m + 3 16 m 2 + 24 m + 13 = = 4 4 m + 3 8 m 2 + 12 m + 5 16 m 2 + 24 m + 13

Mnożnik zemsty Tvіr 4, oznacza dzielenie przez 4 bez nadmiaru.

Sugestia: przynieśliśmy, że weekend jest podzielony przez 4 na cokolwiek n.

Jak zapamiętałeś ułaskawienie w tekście, bądź miły, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter